數學中,某個集合 X 上的 σ-代数(英語:σ-algebra)又叫 σ-域(英語:σ-field),是 X 的某群子集合所構成的特殊子集族。这个子集族对于補集运算和可數個聯集运算具有封闭性(因此对于可數個交集运算也是封闭的)。σ-代数在測度論裡可以用来定义所谓的“可测集合”,是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年,它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数(得名于法国数学家埃米·波莱尔),以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中,σ-代数不仅仅是用于建立公理体系,也是一个强有力的工具,在定义许多重要的概念如条件期望的时候,都需要用到。

动机

σ-代数的提出有至少三个作用:定义测度,操作集合的极限,以及管理集合所表示的部分信息。

测度

测度是给 的子集赋予非负实数值的函数;可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲,若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和,即使有无穷多个这样的不交集

定义

定義 — 
  為一集合,假設有子集族    代表  冪集)滿足下列條件[1][2]

  1.  
  2.  
  3.  

則稱    的一個 σ-代數

注意到定義第3條的 ,意思是  自然数系   等势,直觀的意思就是   裡的元素跟自然數一樣多。

以上定義的直觀意義為:一群  子集合所組成的集合   ,为   上的一个 σ-代数意思是滿足:

  •   本身就是   的元素;
  • 如果集合    中,那么它的补集   也在 中;
  • 如果有可數个集合   都在   中,那么它们的聯集也在  中。

測度論有序对   會被称为一个可测空间。而任何在   中的子集  ,則称为可测集合(measurable set);而在概率论中,   被稱為事件族(family of events),   中的子集   則称为事件

例子

  •  上最小的σ-代数是 
  •  上最大的σ-代数是 冪集 (也就是所有  子集合所組成的集合)

最小σ-代数

定理 — 
   的一個子集族,則:

 

也是  的σ代数。

證明
根據   的定義(嚴謹來說,依據分類公理所新增的公理),對所有集合   有:
  (a)

以下將逐條檢驗σ代数的定義,來驗證   的確是   的σ代数:

(1)  

對所有的集合族   來說,只要   是σ代数,按照定義理當有   ,所以由式(a)的右方的確可以得出  

(2)若   ,則   也在  

  ,那根據式(a),對所有的集合族   來說,只要   是σ代数 且 ,理當有  ,所以對所有   只要滿足這兩個條件,理當有  ,所以由式(a)的右方的確有:

 

(3)可數個并集也在  

  ,由式(a),只要   滿足(a)左方的兩個條件,就有   ,所以:

 

所以再從(a)右方,就可以得到:

 

綜上所述,   的確是   的σ代数。 

根據以上的定理,可以做以下的定義:

定義 — 
   的一個子集族,則:

 

稱為包含  最小σ-代数

例子

  • 设集合 ,那么  是集合 上含有   的σ-代数中最「小」的一个。


性质

σ-代数是一个代数也是一个λ系,它对集合的交集聯集差集、可數交集、可數聯集运算都是封闭的。

参考来源

  1. ^ Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950. ,第28页
  2. ^ Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2. ,第45-46页