上同调环

代数拓扑中,拓扑空间X上同调环是由X上同调群上积组成的。此处,“上同调”指奇异上同调,不过环结构也存在于德拉姆上同调等其他理论中。它也是函子式的:对于空间中的连续映射,可在上同调环上得到反变(contravariant)的环同态

具体来说,给定X上的上同调群序列,其系数在交换环R(一般是ZnZQRC)中,就可以定义上积

上积给出了上同调群

直和的乘法,将变成了环。实际上,它自然是一个N次环,非负整数k为次数。上积保持分次不变。

上同调环是分次交换的,即上积与由分次定义的符号交换。具体地,对度为k、ℓ的纯元素,有

上同调环衍生出的一个数值不变量是上积长(cup-length),即度数≥ 1、积不为零的分次元素的最大数目。例如,复射影空间的上积长等于其复维度

例子

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  • 克奈定理n 的笛卡尔积的模2上同调环是一个系数在 中的n变量多项式环。
  • 楔和的退化上同调环是它们的退化上同调环的直积。
  • 除了度为0的部分,悬挂(suspension)的上同调环为0。

另见

参考文献