在抽象代数中,群 G {\displaystyle G} 的中心 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是所有在 G {\displaystyle G} 中和 G {\displaystyle G} 的所有元素可交换的元素的集合,也就是:
注意 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是一个 G {\displaystyle G} 的子群:若 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 在 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 中,则 ( x y ) g = x ( y g ) = ( x g ) y = x ( g y ) = ( g x ) y = g ( x y ) ∀ g ∈ G {\displaystyle \left(xy\right)g=x\left(yg\right)=\left(xg\right)y=x\left(gy\right)=\left(gx\right)y=g\left(xy\right)\quad \forall g\in G} ,故 x y {\displaystyle xy} 也在 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 中。同样的论证对于逆操作也成立。
而且, Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是一个 G {\displaystyle G} 的可交换子群,也是 G {\displaystyle G} 的正规子群,甚至是 G {\displaystyle G} 的严格特征子群,但不总是完全特征的。
G {\displaystyle G} 的中心是整个 G {\displaystyle G} 当且仅当 G {\displaystyle G} 是可交换群。另一个极端是,若 Z ( G ) {\displaystyle Z\left(G\right)} 是平凡群,群可以是无中心的。
考虑映射 Φ : G → Aut ( G ) {\displaystyle \Phi :G\rightarrow \operatorname {Aut} \left(G\right)} ,这是到 G {\displaystyle G} 的自同构群的映射,定义为:
阿贝尔群G的中心即为其自身G。
正交群 O ( n ) {\displaystyle O\left(n\right)} 的中心是 { I , − I } {\displaystyle \left\{I,-I\right\}} 。