佩服數

在數論中，佩服數（英文：Admirable numbers），是指若一個正整數除了本身外之所有的因數^{[註 1]}，存在一個因數 $d\,^{\prime }$ ，將其他不是本身、不是 $d\,^{\prime }$ 的因數相加後，再減掉 $d\,^{\prime }$ ，若等於本身，我們就稱它為「佩服數」。換句話說佩服數是計算一數的因數和，但其中一個因數是以相反數和其他因數相加，得到的值是自己本身的數。有這種性質的數雖未如完全數一般的完美，但仍被形容為「令人敬佩的」^[1]。

所有大於3的質數的6倍都是佩服數^[1]^{[註 2]}，因此佩服數有無窮多個。

定義

一個正整數除了本身外之所有因數，存在一個因數 $d\,^{\prime }$ ，將其他不是本身、不是 $d\,^{\prime }$ 的因數相加後，再減掉 $d\,^{\prime }$ ，若等於本身，我們就稱它為佩服數。

例如12的因數有1、2、3、4、6、12。其中存在一個因數2，使得 $(1+3+4+6)-2=12$ ^[2]，同時，12也是最小的佩服數^[1]。

更为严格地说，佩服數是指使得公式 $\sigma \left(n\right)-2d\,^{\prime }=2n$ 成立的正整数，其中σ指的是因数和函数，即 $n$ 的所有正因数（包括其本身n）之和。 $d\,^{\prime }$ 是n的其中一個因數。

例如20的因數有1、2、4、5、10、20，其因数和函数的結果為 $\sigma \left({20}\right)=1+2+4+5+10+20=42$ ，存在一個因數1，使得 $\sigma \left({20}\right)-1\times 2=20\times 2$ ，所以20可稱為佩服數。

佩服數是過剩數的一個子集，換句話說所有佩服數都是過剩數^[3]。

例子

最小的一些佩服數是：

12、 20、 24、 30、 40、 42、 54、 56、 66、 70、 78、 84、 88、 102、 104、 114、 120、 138、 140、 174、 186、 222、 224、 234、 246、 258、 270、 282、 308、 318、 354 ……（OEIS數列A111592）

以上列出的佩服數都是偶数。最小的奇佩服數是945^[4]，同時最小的奇過剩數、奇半完全數^[5]也是945。

前幾個奇佩服數是：

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……（OEIS數列A109729）

連續的佩服數^{[註 3]}比連續的過剩數還要少。在10¹²以下，只有兩組連續佩服數，分別是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)^[1]。

佩服數的分布並不像過剩數那樣，過剩數有著非零的自然密度^[6]，而佩服數的成長率非線性的，例如小於100的佩服數有13個、小於1,000的佩服數有65個、小於10,000的佩服數有379個（OEIS數列A109727），其密度隨著數字尺度變大而逐漸減少。

所有大於3的質數的六倍都是佩服數^[1]^{[註 2]}，更精確地說，所有的質數與質因數不含該質數之完全數的乘積都是佩服數^{[註 4]}。

参见

註釋

^ 為方便說明，本條目中的「因數」一律指正因數。
^ ^2.0 ^2.1 假設p是一個大於3的質數，則6p可因數分解為 $2\times 3\times p$ ，因此6p共有8個因數，分別為：1、2、3、6、p、2p、3p、6p，當中存在一個因數6，使得 $(1+2+3+p+2p+3p)-6=6p$ 本身，因此對所有大於3的質數 $p$ ， $6p$ 都是佩服數
^ 指兩個相鄰的整數都是佩服數的情況
^ 假設p是一個大於3的質數、q是一個完全數，則 $p\cdot q$ 的因數包含所有q的因數和所有q與p的乘積，已知q的因數和為2q，因此 $p\cdot q$ 的所有正因數和為 $2q+2p\cdot q$ ，不含 $p\cdot q$ 本身的因數和為 $(2q+2p\cdot q)-p\cdot q$ 為 $2q+p\cdot q$ ，因此當中存在一個因數q使得其不包括q的因數和 $(q+p\cdot q)$ 減去q等於 $p\cdot q$ 本身，因此對所有大於3的質數p， $p\cdot q$ 都是佩服數
^ 18的因數有1，2，3，6，9，18，假設d'為1，得 $(2+3+6+9)-1=19$ ，非18；假設d'為2，得 $(1+3+6+9)-2=17$ ，非18；假設d'為3，得 $\left(1+2+6+9\right)-3=15$ ，非18；假設d'為6，得 $(1+2+3+9)-6=9$ ，非18；假設d'為9，得 $(1+2+3+6)-9=3$ ，非18；假設d'為18，得 $(1+2+3+6+9)-18=3$ ，非18。因此18不存在因數d'，將其他不是本身、不是d'的因數相加後，再減掉d'，能等於本身，因此18不是佩服數^[9]
^ 該數列未被整數數列線上大全收錄。
^ 二的乘冪的因數基本上是低於該數的所有二的乘冪，例如64的因數為1、2、4、8、16、32、64，為小於等於64的所有二的乘冪，因此根據二的乘冪級數的性質^[12]，將不是本身的因數相加相當於從1到乘冪少1的二乘冪級數之和因此必等於本身減一，而1為所有自然數的因數，因此二的乘冪必定會是虧完全數。