倫敦方程
倫敦方程把超導體的電流與其裏面及周圍的電磁場聯繫起來,這兩條方程是由弗里茨與海因茨·倫敦兩兄弟於1935年提出的。[1]它們可被視為超導現象最簡單的有效描述,所以幾乎所有介紹超導的現代教科書,都會把倫敦方程視為入門必修課[2][3][4]。這套方程組最大的成就,就在於它們成功地解釋了邁斯納效應[5];該效應指的是,當超導體溫度低於超導的門檻後,它會愈來愈快地排斥掉其內部所有的磁場。
數學表述
以可量度的場表示時,倫敦方程共有兩條:
- 。
其中 為超導電流,E和B分別為超導體內部的電場與磁場, 為基本電荷, 為電子質量,而 為一現象常數,大致上與超導電子的數密度有關[6]。本條目全篇都使用高斯cgs單位制。
另一方面,可以利用較抽象的概念——磁向量勢A,來把上面兩條式子寫成較簡便的形式,也就獨立一條的“倫敦方程”[6][7]:
- 。
上述這條方程只有一個缺點,就是它一般不具有規範不變性,但只有在符合倫敦規範時,即向量場A的散度為零,才具有規範不變性 [8]。
倫敦穿透深度
- ,
這樣最後會得出一條微分方程
- 。
因此從量綱可見,倫敦方程內含一特有的長度大小, ,而在這個長度中,外來的磁場會被愈來愈快地被排斥。這個數值被稱為倫敦穿透深度。
舉例說,一超導體與自由空間之間的邊界是平的,而超導體外面的磁場大小是固定的,且方向跟z軸一致,與邊界平面平行。若x從邊界指向超導體內部,則內部的磁場解為
- ,
從上式可以較容易地理解到倫敦穿透深度的物理意義。
倫敦方程的基本原理
最初的論述
需要注意的是,上述各方程並不能用文字推導出來 [10],儘管如此,倫敦兄弟在表述這套理論時,還是有跟着一套憑直覺所得的邏輯。歐姆定律指出,電流與電場成正比;即使各種物質的構造不同,但是大致遵守歐姆定律的物質種類還是出奇地多。然而,超導體是不可能有這樣的線性關係,因為超導時電流都沒有電阻,而這點就是超導的定義。為了這一點,倫敦兄弟把超導電子想像成,受均勻外在電場影響的真空電子。根據洛倫茲力方程式:
這些電子應感受到一股均勻的力,並因此均勻地加速。第一條倫敦方程所描述的正是如此。
要得出第二條方程,先取第一條倫敦方程的旋度,然後使用法拉第定律:
- ,
最後可得
- 。
就現時所得的方程而言,方程同時允許不變解及指數衰變解。倫敦兄弟從邁斯納效應中察覺到,非零的不變解是不具有物理意義的,因此他們假定不單是上式的時間導數為零,還有括號內的式子也必須是零。由此得出第二條倫敦方程。
正則動量論述
要解釋倫敦方程,還有其他方法[11][12]。電流密度的表示式如下:
- 。
要把上式由古典描述轉為量子力學的描述,就必須把j及v的數值,改為對應算符的期望值。速度算符的表示式如下
- 。
把具有規範不變性的動態動量算符,除以粒子質量m,就能得到速度算符[13]。然後可以將速度算符代入電流密度的表示式。然而,超導的微觀理論中有一個重要的假設,就是一系統的超導態是這個系統的基態,而根據布洛赫的一條定理[10],這樣一個態的正則動量p為零。因此得
- ,
也就是上面用向量場A所表示的倫敦方程。
註釋及參考資料
- ^ London, F.; H. London. The Electromagnetic Equations of the Supraconductor. Proc. Roy. Soc. (London). March 1935, A149 (866): 71. ISSN 0080-4630.
- ^ Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996. ISBN 0-07-064878-6.
- ^ Neil W. Ashcroft; N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College. 1976: 738. ISBN 0-03-083993-9.
- ^ Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics. 1999. ISBN 0-47-141526-X.
- ^ Meissner, W.; R. Ochsenfeld. Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit. Naturwissenschaften. 1933, 21 (44): 787. Bibcode:1933NW.....21..787M. doi:10.1007/BF01504252.
- ^ 6.0 6.1 James F. Annett. Superconductivity, Superfluids and Condensates. Oxford. 2004: 58. ISBN 0-19-850756-9.
- ^ John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. 1999: 604. ISBN 0-19-850756-9.
- ^ Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 6. ISBN 0-07-064878-6.
- ^ (因為假設了電場只會隨着時間緩慢地變動,而且位移電流項已經受到1/c這個因子的壓抑,因此可以視位移為零。)
- ^ 10.0 10.1 Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 5. ISBN 0-07-064878-6.
- ^ John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. 1999: 603–604. ISBN 0-19-850756-9.
- ^ Michael Tinkham. Introduction to Superconductivity. McGraw-Hill. 1996: 5–6. ISBN 0-07-064878-6.
- ^ L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Quantum Mechanics- Non-relativistic Theory. Butterworth-Heinemann. 1977: 455–458. ISBN 0-7506-3539-8.