克雷洛夫子空间

线性代数中,由n方阵An维向量b生成的r克雷洛夫子空间bA的前r次幂下(始于)的列空间张成线性子空间,即[1][2]

背景

这一概念得名于苏联应用数学家、海军工程师Alexei Krylov,他在1931年发表了一篇关于这一概念的论文。[3]

性质

  •  .
  •  ,则 是线性无关的,除非  。因此 是克雷洛夫子空间 的最大维度。
  • 最大维度满足 .
  • 考虑 ,其中 A极小多项式。我们有 。此外 ,对它来说此约束是紧密的,即 
  •  是由b产生的扭化 -模 的循环子模,其中 k上的线性空间。
  •  可分解为克雷洛夫子空间的直和。[需要解释]

使用

克雷洛夫子空间用于寻找高维线性代数问题的近似解。[2]控制论的很多线性动态系统检测,特别是与可控制性可观测性相关的测试,都要检查克雷洛夫子空间的秩。测试等同于寻找与系统/输出映射相关的格拉姆行列式的张成空间,因此不可控与不可观测子空间只是克雷洛夫子空间的正交补。[4] 阿诺德迭代法等现代迭代法可用于寻找大型稀疏矩阵的特征值,或求解大型线性方程组。这些方法尽量避免矩阵间的运算,而将向量与矩阵相乘。从向量b开始,可以计算 ,然后将向量与A相乘,求得 等等。所有这样的算法都称作克雷洛夫子空间方法,是目前数值线性代数中最成功的方法之一。这些方法可用于能计算矩阵-向量乘法而无A的显式表示的情形,从而产生了无矩阵法

问题

由于幂迭代的特性,向量很快就会变得近乎线性相关,因此依赖于克雷洛夫子空间的方法经常要正交化,例如厄米矩阵兰佐斯算法或更一般矩阵的阿诺德迭代法

现有方法

最著名的克雷洛夫法有共轭梯度法、诱导降维法、广义最小残量方法稳定双共轭梯度法、准最小残差法、无转置准最小残差法、最小残差法等等。

另见

参考文献

  1. ^ Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. Numerical optimization. Springer series in operation research and financial engineering 2nd. New York, NY: Springer. 2006: 108. ISBN 978-0-387-30303-1. 
  2. ^ 2.0 2.1 Simoncini, Valeria, Krylov Subspaces, Nicholas J. Higham; et al (编), The Princeton Companion to Applied Mathematics, Princeton University Press: 113–114, 2015 
  3. ^ Krylov, A. N. О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем [On the Numerical Solution of Equation by Which are Determined in Technical Problems the Frequencies of Small Vibrations of Material Systems]. Izvestiia Akademii Nauk SSSR. 1931, 7 (4): 491–539 (俄语). 
  4. ^ Hespanha, Joao, Linear Systems Theory, Princeton University Press, 2017 

阅读更多

  • Nevanlinna, Olavi. Convergence of iterations for linear equations. Lectures in Mathematics ETH Zürich. Basel: Birkhäuser Verlag. 1993: viii+177 pp. ISBN 3-7643-2865-7. MR 1217705. 
  • Saad, Yousef. Iterative methods for sparse linear systems  2nd. SIAM. 2003. ISBN 0-89871-534-2. OCLC 51266114. 
  • Gerard Meurant and Jurjen Duintjer Tebbens: ”Krylov methods for nonsymmetric linear systems - From theory to computations”, Springer Series in Computational Mathematics, vol.57, (Oct. 2020). ISBN 978-3-030-55250-3, url=https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0.
  • Iman Farahbakhsh: "Krylov Subspace Methods with Application in Incompressible Fluid Flow Solvers", Wiley, ISBN 978-1119618683 (Sep., 2020).