利萨茹曲线

数学上,利萨茹Lissajous曲线(又称利萨茹图形李萨如图形鲍迪奇Bowditch曲线)是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

示波器上的利萨茹图形
三维利萨茹图形

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

数学定义

利萨茹曲线由以下参数方程定义:

 

其中  

 称为曲线的参数,是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数,则 ,参数方程可以写作:

 

其中 

性质

  •  为无理数,曲线在长方形 稠密
  •  为有理数,
    • 曲线是 代数曲线 对奇数 ,或 对偶数 
    • 曲线是 代数曲线的一部份若 对奇数 ,或 对偶数 
  •  为偶数而 ,或若 为奇数而 ,则曲线是第 切比雪夫多项式 的曲线的一部份。

特别情况

  •   ,则曲线是椭圆
    •  ,则这椭圆其实是
    •  ,则这椭圆其实是线段。
  •   (所以 ),则曲线是besace
    •  ,则这besace是拋物线一部份。
    •  ,则这besace是一个热罗诺双纽线

以下是利萨茹曲线的例子,其中  ,  是奇数, 是偶数, 

频率比1:n和n:1的情况

Δφ 1:1 1:2 1:3 2:1
0

 

 

 

 

¹/₄·π

 

 

 

 

¹/₂·π

 

 

 

 

³/₄·π

 

 

 

 

1·π

 

 

 

 

1¹/₄·π

 

 

 

 

1¹/₂·π

 

 

 

 

1³/₄·π

 

 

 

 

2·π

 

 

 

 

频率比n1:n2的情况

Δφ 2:3 Δφ 3:4
0   0  
¹/₂·¹/₄·π   ¹/₃·¹/₄·π  
¹/₂·¹/₂·π   ¹/₃·¹/₂·π  
¹/₂·³/₄·π   ¹/₃·³/₄·π  
¹/₂·π   ¹/₃·π  
5/8·π   5/12·π  
³/₄·π   ¹/₂·π  
7/8·π   7/12·π  
1·π   ²/₃·π  

演示

鼠标悬浮在两个数字上时,通过滚轮可以调节数字大小。


在電子學上的應用

藉由使用利萨茹圖形可以測量出兩個信號頻率比與相位差。

外部連結