反向欧拉法

数值分析科学计算中,反向欧拉法隐式欧拉法是求解常微分方程最基本的数值方法之一。其类似于(标准)欧拉法,不过是一种隱式方法。反向欧拉法的时间误差为一阶。

描述

考虑常微分方程

 

有初值 此处函数 与初值数据  均未知;函数 取决于实变量 ,同样未知。数值方法产生一个序列 ,使 近似于 ,其中 称为步长。

反向欧拉法计算近似值的方法是

  [1]:57

异于(正向)欧拉法,后者用的是 而非 

反向欧拉法是一种隐式方法:新近似值 在方程两侧都出现,因此该方法要求解未知 的代数方程。对非刚性问题,这可采用定点迭代法:

 

若序列收敛(在给定精度内),则该方法会将其极限作为新的近似  [1]:57

或者,也可以使用牛顿–拉斐森法求解代数方程。

推导

将微分方程  积分到 ,有

 

现在用右手矩形法近似计算右式的积分:

 

最后,用 应近似于 的性质,就得到了反向欧拉法公式。[1]:57

若用左手矩形法,同样的推导会得到(标准)欧拉法。

分析

 
圆盘外的粉色区域是反向欧拉法的稳域。

大O符号表示反向欧拉法的局部截断误差(LTE)(定义为迭代一步产生的误差)为 。特定时刻 的误差为 ,这是说该方法的阶数为1。一般来说,具有 LTE的方法定义为k阶。

反向欧拉法的绝对稳域是以1为圆心,半径为1的圆盘在平面内的补集,如图所示。[1]:70这包括整个复平面的左半部,使其适于求解刚性方程[1]:71事实上,反向欧拉法甚至是L-稳定的。

利用反向欧拉法求解离散稳定系统的区域是半径为0.5的圆,位于z平面的(0.5, 0)处。[2]

推广与改进

反向欧拉法是(前向)欧拉法的一种变体。其他变体还有半隐式欧拉法和指数欧拉法。

反向欧拉法可视为1阶段的龙格-库塔法,可用Butcher表描述:

 

该方法也可看作是1步的线性多步法,是Adams–Moulton法族中的第一个方法,也是后向微分法的第一个方法。

另见

注释

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Butcher 2003
  2. ^ Wai-Kai Chen, Ed., Analog and VLSI Circuits The Circuits and Filters Handbook, 3rd ed. Chicago, USA: CRC Press, 2009.

参考文献