反正弦 |
![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/Arcsin.svg/220px-Arcsin.svg.png) |
性質 |
奇偶性 | 奇 |
定義域 | [-1, 1] |
到達域 | ![{\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee) ([-90°,90°]) |
周期 | N/A |
特定值 |
當x=0 | 0 |
當x=+∞ | N/A |
當x=-∞ | N/A |
最大值 | ![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) (90°) |
最小值 | ![{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a118833a527afc76283d59786a4e07dea08e479) (-90°) |
其他性質 |
渐近线 | N/A |
根 | 0 |
拐點 | 原點 |
不動點 | 0 |
反正弦(arcsine,
,
)是一種反三角函數,也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中,反正弦被定義為一個角度,也就是正弦值的反函數。在实数域
内,正弦函數的值域为
,不是一個双射函數,故在整个定义域上無法有单值的反函數;但若限定正弦函數的定義域在
(
)内,则正弦函数有反函数。在实数域内,通常将反正弦函数的定義域限制在區間
,值域限制在區間
(
)中;若利用自然对数,则可将反正弦函数的定义域扩充至整个复数集,但这样一来反正弦函数也将变成多值函数。
命名
反正弦的符號是arcsin,也常常写作 。如此写法可以被接受的理由是,正弦函數的倒數是余割,有單獨的寫法,因此不易和 混淆。另外在某些計算機的按鍵或電腦的編程語言中,反正弦會以asin或asn表示。
定義
原始的定義是將正弦函數限制在 ( )的反函數,得到如下定義域和值域:
-
- ( )
利用自然對數可將定義推廣到整個複數集:
-
拓展到複數的反正弦函數
運算
反正弦函数的导数是:
-
- 故实数域内,它在整个定义域上单调递增。
- 反正弦函数的泰勒级数是:
- .
反正弦函数是奇函数,故:
另外,反正弦的和差也可以合并成一個反正弦來表達:
-
其中 。
和差公式:
-
倍變數公式:
(对0 ≤ kx ≤ 1)
-
參見