單項式

只由一项构成的多项式

数学上的單項式(英語:Monomial)是指只有一項的多項式。如都是單項式。

單項式有兩種不同的定義:

  1. 單項式,也稱為冪乘積,是各變數自然数幂次的乘積,也可以說是變數之間的乘積,變數可能會重複出現,例如即為單項式。常數也是單項式,等於空积,也等於可以對應任意變數。若只考慮單變數,則其單項式可能是或是的幂次,其中為正整數。若考慮多個變數,如,每一個變數都可能有其幂次,因此單項式會是,其中是非負整數[註 1]
  2. 單項式也可以是上述定義的單項式,乘以一個非零的常數,稱為單項式的係數。第一種定義下的單項式是這種定義當中,係數為的特例。例如都是單項式(第二例中,變數是,且其係數是复数)。

若在討論洛朗多項式英语Laurent polynomial洛朗级数時,單項式的幂次可以是負數,若在討論皮瑟級數英语Puiseux series時,幂次可以是有理数

二種定義的比較

在上述兩種定義中,單項式都是多項式中的子集,且具有乘法封閉性。

在文獻中這兩種定義都有出現,在許多應用中可以忽略這兩種定義之間的差異,這裡有些第一個定義[1],以及第二個定義的例子[2]。在非正式的討論中不太需要區分其差異。一般是傾向使用範圍較廣的第二個定義。不過在研究多項式結構時,一般會需要用到第一個定義。例如在考慮多项式环單項基函數英语monomial basis,或是此一基底的単項式順序英语monomial order

以下的「單項式」會以上述的第一個定義為準。

單項基函數

所有的多項式都是單項式的線性組合,因此形成多項式向量空间,稱為單項基函數(monomial basis)。

標示

偏微分方程中常需要標示單項式。若用的變數是像 ,  ,  , ...之類用下標區隔的變數,則可以用多重指标表示,例如

 

可以定義

 

以簡化標示。

注释

  1. ^ 其中若指數為 ,對應的幂次乘積會等於1

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參考資料

  1. ^ Cox, David; John Little; Donal O'Shea. Using Algebraic Geometry. Springer Verlag. 1998: 1. ISBN 0-387-98487-9. 
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (编), Monomial, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4