定义
Hamel基
Hamel基的定義 — 是定义在域 (也就是标量的母空間,如实数系 或复数系 )上的向量空间,如果 的子集 满足:
- (也就是零向量不會在 裡)
- 若 且 ,則存在唯一的一組相異向量 和唯一的一組非零标量 使得 。
则稱 是向量空间 的一组Hamel基。 裡的元素被稱為基向量 ,若基向量的總數是有限個, 則會被稱為有限基或直接簡稱為基。
上面的第二個條件,也可以等價地改寫為以下兩條[1]:
线性无关(linear independence)
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對任意相異的 和任意的 ,若 ,则
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生成律(spanning property)
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对任意 ,存在相異向量 和标量 使得
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等價性來自於線性無關:
若有第二組相異 基向量和第二組标量 也滿足 的話,把這住兩組基向量合併,並重新排列,於兩組間重複的記為 ,其他不重複的部分,第一組的記為 ;而第二組的記為 ;然後設 於原來第一組對應的标量係數是 ;原第二組則是對應 。另外 對應的标量係數則為 ; 對應的标量係數則為 ; 這樣把 的第一組線性組合表達式減去第二組會有
-
這樣依據線性無關,就有
-
-
-
這就確保任意 的線性組合表達式都是用同一組的基向量,且其标量係數也是唯一的。
Schauder基
除了上小節單以線性組合定義的Hamel基,也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基:
第二項條件通常會簡寫為
- 對每個 ,都存在唯一組标量 ,使
甚至寫為
-
例子
在傅立叶级数的研究中,函数 是所有的在区间[0, 2π]上为平方可积分的(实数或复数值)的函数的(实数或复数)向量空间的“正交基”,这种函数 满足
-
函数族 是线性无关的,所有在[0, 2π]上平方可积分的函数是它们的“无限线性组合”,在如下意义上
-
对于适合的(实数或复数)系数ak, bk。但是多数平方可积分函数不能表达为这些基函数的有限线性组合,因为它们不构成Hamel基。这个空间的所有Hamel基都大于这个函数的只可数无限集合。此类空间的Hamel基没有什么价值,而这些空间的正交基是傅立叶分析的根本。
維度
如果基中元素个数有限,就称向量空间为有限维向量空间,並将元素的个数称作向量空间的维度[2]。如果原本的基底為:
-
那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質,反過來用基向量序列 來間接代表 。
事实上,不是所有空间都拥有由有限个元素构成的基底。这样的空间称为无限维空间。某些无限维空间上可以定义由无限个元素构成的基。在现代集合论中,如果承认选择公理,就可以证明任何向量空间都拥有一组基。一个向量空间的基不止一组,但同一个空间的两组不同的基,它们的元素个数或势(当元素个数是无限的时候)会是相等的。一组基里面的任意一部分向量都是线性无关的;反之,如果向量空间拥有一组基,那么在向量空间中取一组线性无关的向量,一定能得到一组基。特别地,在内积向量空间中,可以定义正交的概念。通过特别的方法,可以将任意的一组基变换成正交基乃至标准正交基。
性质
设 是向量空间 的子集。则 是基,当且仅当满足了下列任一条件:
- 是 的极小生成集,就是说只有 能生成 ,而它的任何真子集都不能生成全部的向量空间。
- 是 中线性无关向量的极大集合,就是说 在 中是线性无关(線性獨立)集合,而且 中没有其他线性无关(線性獨立)集合包含它作为真子集。
- 中所有的向量都可以按唯一的方式表达为 中向量的线性组合。如果基是有序的,则在这个线性组合中的系数提供了这个向量关于这个基的坐标。
如果承认良序定理或任何选择公理的等价物,那么作为推论,可以证明任何的向量空间都拥有一组基。(证明:良序排序这个向量空间的元素。建立不线性依赖于前面元素的所有元素的子集。它就是基)。反过来也是真的。一个向量空间的所有基都拥有同样的势(元素个数),叫做这个向量空间的维度。这个结果叫做维度定理,它要求系统承认严格弱形式的选择公理即超滤子引理。
例子
- 考虑所有坐标 (a, b)的向量空间R2,这里的a和b都是实数。则非常自然和简单的基就是向量e1 = (1,0)和e2 = (0,1):假设v = (a, b)是R2中的向量,则v = a (1,0) + b(0,1)。而任何两个线性无关向量如 (1,1)和(−1,2),也形成R2的一个基。
- 更一般的说,给定自然数n。n个线性无关的向量e1, e2, ..., en可以在实数域上生成Rn。因此,它们也是的一个基而Rn的维度是n。这个基叫做Rn的标准基。
- 设V是由函数et和e2t生成的实数向量空间。这两个函数是线性无关的,所有它们形成了V的基。
- 设R[x]指示所有实数多项式的向量空间;则 (1, x, x2, ...)是R[x]的基。R[x]的维度的势因此等于 .
标准基
在行向量空间 中有单位行向量
那么在该空间中,任意向量 ,都可以唯一表示成 .然后我们可以看出, 可以由它的向量子空间构成
.
同样的,单位列向量就可以表达为 .
线性无关的单位行向量 生成 . 那么 是 的基,称这个基为标准基.
基的扩张
有序基和坐标
基底是作为向量空间的子集定义的,其中的元素并不按照顺序排列。为了更方便相关的讨论,通常会将基向量进行排列。比如说将: 写成有序向量组: 。这样的有序向量组称为有序基。在有限维向量空间和可数维数的向量空间中,都可以自然地将基底表示成有序基。在有序基下,任意的向量都可以用确定的数组表示,称为向量的坐标。例如,在使用向量的坐标表示的时候习惯谈论“第一个”或“第二个”坐标,这只在指定了基的次序前提下有意义。在这个意义下,有序基可以看作是向量空间的坐标架。
设 是在域 上的n维向量空间。在 上确定一个有序基等价于确定一个从坐标空间 到 的一个选定线性同构 。
证明:这个证明利用了 的标准基是有序基的事实。
首先假设
- 是线性同构。可以定义 的一组有序基 如下:
-
其中的 是 的标准基。
反过来说,给定一个有序基,考虑如下定义的映射
- φ(x) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn,
这里的x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen是Fn的一个元素。不难检查出φ是线性同构。
这两个构造明显互逆。所以V的有序基一一对应于线性同构Fn → V。
确定自有序基{vi}线性映射φ的逆映射为V装备了坐标:如果对于向量v ∈ V, φ-1(v) = (a1, a2,...,an) ∈ Fn,则aj = aj(v)的分量是v的坐标,在v = a1(v) v1 + a2(v) v2 + ... + an(v) vn的意义上。
从向量v到分量aj(v)的映射是从V到F的线性映射,因为φ-1是线性的。所以它们是线性泛函。它们形成V的对偶空间的基,叫做对偶基。
参考文献
- ^ 柯斯特利金.代数学引论(第二版)[M]高等教育出版社:53
- ^ Lang, Serge. Linear algebra. Berlin: New York: Springer-Verlag. 1987. ISBN 978-0-387-96412-6.
参见
外部链接