多伽玛函数

${\boldsymbol {m}}$阶多伽玛函数是伽玛函数的第$({\boldsymbol {m+1}})$个对数导数。

$\psi ^{(m)}(\zeta )=\left({\frac {d}{d\zeta }}\right)^{m}\psi (\zeta )=\left({\frac {d}{d\zeta }}\right)^{m+1}\ln \Gamma (\zeta )$

在这里

$\psi (\zeta )=\psi ^{(0)}(\zeta )={\frac {\Gamma '(\zeta )}{\Gamma (\zeta )}}$

是双伽玛函数，$\Gamma (\zeta )\!$是伽玛函数。函数$\psi ^{(1)}(\zeta )\!$有时称为三伽玛函数。

伽玛函数的对数，以及最初几个多伽玛函数

$\ln \Gamma (\zeta )\!$	$\psi ^{(0)}(\zeta )\!$	$\psi ^{(1)}(\zeta )\!$	$\psi ^{(2)}(\zeta )\!$	$\psi ^{(3)}(\zeta )\!$	$\psi ^{(4)}(\zeta )\!$

积分表示法

多伽玛函数可以表示为：

$\psi ^{(m)}(\zeta )=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-\zeta t}}{1-e^{-t}}}dt$

当Re z >0和m > 0时成立。对于m = 0，参见双伽玛函数的定义。

递推关系

多伽玛函数具有以下的递推关系：

$\psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.$

乘法定理

乘法定理给出：

$k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

其中$m>1$。对于$m=0$，则是双伽玛函数：

$k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right)$

级数表示法

多伽玛函数有以下的级数表示法：

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}$

对m > 0和任何不等于负数的复数z都成立。还可以用赫尔维茨ζ函数来表示：

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).$

泰勒级数

z = 1时，泰勒级数为：

$\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},$

当|z| < 1时收敛。在这里，ζ是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推出。这个级数也可以用来推导出一些有理ζ级数。

参见

• 伽玛函数
• 双伽玛函数

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 . 参见第§6.4（页面存档备份，存于互联网档案馆）节。