多重完全數
多重完全數（multiply perfect number）為一數學名詞，是一種廣義的完全數。
針對一自然數k，自然數n為k重完全數的充份必要條件是n所有正因數的和（即除數函數，σ(n)）等於n的k倍，此定義下，完全數的除數函數為本身的2倍，因此是2重完全數。不論k的數值為何，k重完全數都屬於多重完全數。至2004年7月為止．已經找到k為11的多重完全數。
可以證明：
- 針對一質數p，若n為p重完全數且p無法整除n，則pn為(p+1)重完全數。因此可推得若整數n3重完全數，可被2整除但不能可被4整除，其充份必要條件是n/2需為奇數的完全數，至2012年12月為止，尚未發現任何奇數的完全數。
- 若3n為4k重完全數，且3無法整除n，則n為3k-重完全數。
最小的k重完全數
以下列出k <= 7時，各k值最小的k重完全數（OEIS數列A007539）：
| k | 最小的k重完全數 | 發現者 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 不可考 |
| 2 | 6 | 不可考 |
| 3 | 120 | 不可考 |
| 4 | 30240 | 勒内·笛卡儿，約在1638年 |
| 5 | 14182439040 | 勒内·笛卡儿，約在1638年 |
| 6 | 154345556085770649600 | 羅伯特·丹尼·卡邁克爾, 1907 |
| 7 | 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 | TE Mason, 1911 |
例如，120的除數函數滿足以下的關係：
1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3 × 120.
120的除數函數為120的三倍，因此為3重完全數：
參考資料
- Laatsch, Richard. Measuring the abundancy of integers. Mathematics Magazine. 1986, 59 (2): 84–92. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424. MR 0835144. Zbl 0601.10003.
- Merickel, James G. Problem 10617 (Divisors of sums of divisors). Am. Math. Monthly. 1999, 106 (7): 693. JSTOR 2589515. MR 1543520.
- Weiner, Paul A. The abundancy ratio, a measure of perfection. Math. Mag. 2000, 73 (4): 307–310. JSTOR 2690980. MR 1573474.
- Sorli, Ronald M., Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers, 2003
- Ryan, Richard F. A simpler dense proof regarding the abundancy index. Math. Mag. 2003, 76 (4): 299–301. JSTOR 3219086. MR 1573698.
- Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
- Broughan, Kevin A.; Zhou, Qizhi. Odd multiperfect numbers of abundancy 4. J. Number Theory. 2008, 126 (6): 1566–1575. MR 2419178. doi:10.1016/j.jnt.2007.02.001.
- Ward, Jeffrey. Does ten have a friend?. arXiv:0806.1001
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