对偶锥和极锥

对偶锥和极锥(英語:dual cone and polar cone)是凸分析中的两个概念。

对偶锥

 
集合C和它的对偶锥C*

在向量空间内

实数线性空间 X (例如欧几里得空间Rn)中子集 C 的双锥C*,与对偶空间 X* 成集合:

 

此中  XX* 的对偶组合,即  

C* 始终是凸锥,即使 C 既不是凸锥也不是锥。

在拓扑空间内

如果 X 是实数或复数上的拓扑向量空间,则其子集 C⊆X 的对偶锥是 X 上的以下连续线性泛函集合:

 ,[1]

这是集合 -C 的极锥[1],不管 C 是什么。  都将是一个凸锥。如果 C⊆{0},则 

极锥

 
闭合凸锥C的极锥是闭合凸锥Co,反之亦然

对于X中的集合C,C的极锥是集合[2]

 

可以看出,极锥等于双锥的负值,即Co=−C*

对于X中的闭合凸锥C,极锥相当于C的极集(polar set)[3]

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Schaefer & Wolff 1999,第215–222頁.
  2. ^ Rockafellar, R. Tyrrell. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997: 121–122 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6. 
  3. ^ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide 3. Springer. 2007: 215. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9.