對偶小波

在數學上，一個對偶小波（英語：dual wavelet）為小波的對偶。一般情形下，在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中，由平方可積函數(square integral function)產生的小波級數(wavelet series)具有對偶級數。然而， 對偶級數一般並不是由平方可積函數本身表示。

定義

給一個平方可積函數 $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$, 定義級數 $\{\psi _{jk}\}$ 由

$\psi _{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)$

給整數 $j,k\in \mathbb {Z}$.

這種函數稱為R函數(R-function)，假如$\{\psi _{jk}\}$的線性展延在$L^{2}(\mathbb {R} )$上,且假如存在一個正的常數A, B，其中$0<A\leq B<\infty$ 如下式

$A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,$

對於所有雙無限平方累加(bi-infinite square summable)級數 $\{c_{jk}\}$. 在這裡, $\Vert \cdot \Vert _{l^{2}}$ 代表平方和範數:

$\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}$

而 $\Vert \cdot \Vert _{L^{2}}$ 代表在 $L^{2}(\mathbb {R} )$的通常範數(usual norm):

$\Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx$

由里斯表示定理(Riesz representation theorem)，存在一個獨特的對偶基底(dual basis) $\psi ^{jk}$ 如下式

$\langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}$

$\delta _{jk}$為克羅內克函數(Kronecker delta)，而 $\langle f\vert g\rangle$為在$L^{2}(\mathbb {R} )$的內積(inner produce)。確實，這裡存在一個對於平方可積函數 f 表示基底的特殊級數表示:

$f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)$

假如這裡存在一個函數 ${\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} )$ 如下式

${\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}$

${\tilde {\psi }}$ 稱為對偶小波(dual wavelet)或是小波對偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般來說，對於一些R函數(R-function)ψ,對偶不一定存在。在特別情況 $\psi ={\tilde {\psi }}$中,這個小波稱為正交小波(orthogonal wavelet)。

要舉一個沒有對偶的R函數(R-function)很簡單。讓$\phi$ 為一個正交小波。然後定義 $\psi (x)=\phi (x)+z\phi (2x)$，z 為複數.如此一來可以很簡單的表明 ψ 沒有對偶小波。

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• Multiresolution analysis

文獻

• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets (Wavelet Analysis & Its Applications), (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8