尺度分析 (数学科学)

尺度分析(Scale analysis),或稱量级分析(order-of-magnitude analysis),是一个應用于数学科学的工具,用于简化含有多项式的公式。首先确定方程中的某一项的量级。然后一些小到可以忽略不计的项可能会被忽略。

例:綜觀尺度气象学垂直动量

考虑大气中纳维–斯托克斯的方程式中的垂直坐标方向上的 动量方程式

 

其中R地球半径,Ω是地球旋转频率g重力加速度,φ是纬度,ρ是空气密度以及ν是空气的 运动粘性系数(我们可以忽视湍流在大气中的影响)。

在綜觀尺度中,我們可以預期U = 101 m.s-1的水平速度和W = 10-2 m.s-1的垂直速度。 水平刻度L = 106米,垂直刻度H = 104米。 典型的時標是T = L / U = 105秒。 對流層的壓差為ΔP= 104Pa,空氣密度ρ= 100 kg·m-3。 其他物理屬性約為:

R = 6.378 × 106 m;
Ω = 7.292 × 10−5 rad·s−1;
ν = 1.46 × 10−5 m2·s−1;
g = 9.81 m·s−2.

等式(1)中不同項的估計可以使用它們的尺度來進行:

 

現在我們可以將這些尺度及其值引入等式(1):

 


 

我們可以看到所有項次(除了右側的第一個和第二個)都可以忽略不計。因此,我們可以將垂直動量方程式簡化為流體靜力平衡方程式:

 

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