局部可积函数

在数学中，局部可积函数是指在定义域内的所有紧集上都可积的函数。

常见定义

设$\Omega$为欧几里得空间$\mathbb {R} ^{n}$中的一个开集。设$\scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C}$是一个勒贝格可测函数。如果函数$f$在任意紧集$K\subset \Omega$上的勒贝格积分都存在：

$\int _{K}|f|\mathrm {d} x<+\infty \,$

那么就称函数$f$为一个$\Omega$-局部可积的函数。所有在$\Omega$上局部可积的函数的集合一般记为$\scriptstyle L_{loc}^{1}(\Omega )$：

$L_{loc}^{1}(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} ,\right.$可测$\left.\left|\ f\in L^{1}(K),\ \forall K\in {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}\right.\right\}$

其中$\scriptstyle {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}$指$\Omega$包含的所有的紧集的集合。

一般测度空间

对于更一般的测度空间$(X,d\mu )$，也可以类似地定义其上的局部可积函数。

性质

• 所有$\Omega$上的连续函数与可积函数都是$\Omega$-局部可积的函数。如果$\Omega$是有界的，那么$\Omega$上的L²函数也是$\Omega$-局部可积的函数。
• 局部可积函数都是几乎处处有界的函数$(X,d\mu )$，也可以类似地定义其上的局部可积函数。
• 复数值的函数$f$是局部可积函数，当且仅当其实部函数 $Re(f):x\to Re\left(f(x)\right)$与虚部函数 $Im(f):x\to Im\left(f(x)\right)$都是局部可积函数。实数值的函数$f$是局部可积函数，当且仅当其正部函数 $f_{+}:x\to \left(f(x)\right)_{+}$与负部函数 $f_{-}:x\to \left(f(x)\right)_{-}$都是局部可积函数。

相关条目

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