在數論 中，布朗篩法 （Brun sieve；或稱布朗純篩法 (Brun's pure sieve)）是一個用以估計滿足特定條件的「篩選過的」正整數集大小的技巧，而這些條件一般都以同餘 表示。該篩法由维戈·布朗 於1915年發展，並在後來由其他學者推廣為篩法基本引理 。
在篩法 的術語中，布朗篩法是一種「組合篩法」，也就是一種透過小心應用容斥原理 進行「篩選」的篩法。在正式討論布朗篩法前，先定義一些表記：
設
A
{\displaystyle A}
P
{\displaystyle P}
A
p
{\displaystyle A_{p}}
A
{\displaystyle A}
P
{\displaystyle P}
p
{\displaystyle p}
d
{\displaystyle d}
P
{\displaystyle P}
A
d
{\displaystyle A_{d}}
A
{\displaystyle A}
d
{\displaystyle d}
d
{\displaystyle d}
p
{\displaystyle p}
A
p
{\displaystyle A_{p}}
A
1
{\displaystyle A_{1}}
A
{\displaystyle A}
設
z
{\displaystyle z}
S
(
A
,
P
,
z
)
=
|
A
∖
⋃
p
∈
P
p
≤
z
A
p
|
,
{\displaystyle S(A,P,z)={\biggl \vert }A\setminus \bigcup _{p\in P \atop p\leq z}A_{p}{\biggr \vert },}
在上式中，
|
X
|
{\displaystyle |X|}
X
{\displaystyle X}
元素個數 。
此外，假若
|
A
d
|
{\displaystyle |A_{d}|}
w
{\displaystyle w}
積性函數 ，而
R
d
{\displaystyle R_{d}}
|
A
d
|
=
w
(
d
)
d
|
A
|
+
R
d
,
{\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}|A|+R_{d},}
那就可定義下式：
W
(
z
)
=
∏
p
∈
P
p
≤
z
(
1
−
w
(
p
)
p
)
.
{\displaystyle W(z)=\prod _{p\in P \atop p\leq z}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right).}
以下內容取自Cojocaru & Murty （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）的定理6.1.2.，並使用上述的表記。
若以下條件成立：
對於任意由
P
{\displaystyle P}
d
{\displaystyle d}
|
R
d
|
≤
w
(
d
)
{\displaystyle |R_{d}|\leq w(d)}
存在常數
C
,
D
,
E
{\displaystyle C,D,E}
z
{\displaystyle z}
∑
p
∈
P
p
≤
z
w
(
p
)
p
<
D
log
log
z
+
E
.
{\displaystyle \sum _{p\in P \atop p\leq z}{\frac {w(p)}{p}}<D\log \log z+E.}
對於任意
P
{\displaystyle P}
p
{\displaystyle p}
w
(
p
)
<
C
{\displaystyle w(p)<C}
則有以下的關係式：
S
(
A
,
P
,
z
)
=
X
⋅
W
(
z
)
⋅
(
1
+
O
(
(
log
z
)
−
b
log
b
)
)
+
O
(
z
b
log
log
z
)
{\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)\cdot \left({1+O\left((\log z)^{-b\log b}\right)}\right)+O\left(z^{b\log \log z}\right)}
其中
X
{\displaystyle X}
A
{\displaystyle A}
b
{\displaystyle b}
O
{\displaystyle O}
大O符號 。
此外，設
x
{\displaystyle x}
A
{\displaystyle A}
c
{\displaystyle c}
log
z
<
c
log
x
/
log
log
x
{\displaystyle \log z<c\log x/\log \log x}
S
(
A
,
P
,
z
)
=
X
⋅
W
(
z
)
(
1
+
o
(
1
)
)
.
{\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)(1+o(1)).}
布朗定理 ：所有孿生質數 的倒數和收斂。施尼勒爾曼密度 ：所有的偶數至多
C
{\displaystyle C}
C
{\displaystyle C}
存在有無限多個彼此差為2的整數對，而在該整數對中的兩個數都至多是九個質數的乘積。
所有的偶數都可表示成兩個至多是九個質數乘積的數之和。 最後兩個定理弱於陳氏定理 及弱哥德巴赫猜想 。
Viggo Brun . Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 1915, B34 (8). Viggo Brun. La série
1
5
+
1
7
+
1
11
+
1
13
+
1
17
+
1
19
+
1
29
+
1
31
+
1
41
+
1
43
+
1
59
+
1
61
+
⋯
{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}+{\tfrac {1}{29}}+{\tfrac {1}{31}}+{\tfrac {1}{41}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{59}}+{\tfrac {1}{61}}+\cdots }
43 : 100–104, 124–128. JFM 47.0163.01 Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66 . Cambridge University Press. 2005: 80–112. ISBN 0-521-61275-6 George Greaves. Sieves in number theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43 . Springer-Verlag. 2001: 71–101. ISBN 3-540-41647-1 Heini Halberstam ; H.E. Richert. Sieve Methods . Academic Press . 1974. ISBN 0-12-318250-6 Christopher Hooley . Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. 1976. ISBN 0-521-20915-3 
