布靈根式

布靈根式(英語:Bring radical)或是超根式(英語:ultraradical)是代數术語。布靈根式不是一般意義下的根式n次方根,或“单位根”),複數a的布靈根式可以用表示,是指以下五次方程的解

實係數下布靈根式的圖

對應一複數a的布靈根式,是上述方程式五個解中的一個(因此是多值函數)一般會選擇布靈根式的根,使得實數的布靈根式為正值,而且在實數線附近可解析。布靈根式在复平面上有四個分支點英语branch point,因此無法定義為複數平面上的連續函數,其連續域需要排除其分支切割英语branch cut

布靈根式是由厄蘭·塞缪爾·布靈英语Erland Samuel Bring發明的,喬治·傑拉德英语George Jerrard證明有些五次方程可以用n次方根及布靈根式求解,因此可以用在一些五次方程的闭合形式解中。

此條目中。a的布靈根式表示為。若a是實數,此函數是奇函數、單調遞減且無界,在很大時,其漸近行為

級數表示

布靈根式的泰勒级数,以及以广义超几何函数的表示式可以用以下方式推導。方程 可以寫成 ,若令 ,想要的解是 ,因為 是奇函數。

 的級數可以用 泰勒级数(就是 )的反算英语Lagrange inversion theorem來得,令

 

其中係數的絕對值形成整數數列線上大全中的A002294。數列的收敛半径 

布靈根式的超几何函数形式可以寫成[1] 

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參考資料

外部連結