康托尔空间

数学中,以格奥尔格·康托尔命名的康托尔空间是对经典康托尔集拓扑学抽象:即与康托尔集同胚拓扑空间。在集合论中,拓扑空间2ω也就是康托尔空间。

例子

康托尔集自身就组成康托尔空间不过,康托尔空间的一般标准例子是可数无限多个离散两点空间{0, 1}的,一般写作 或2ω(其中2表示离散拓扑中的2-元素集合{0,1})。2ω中的一个点是一个由0和1组成的无穷二进制序列,给定这样一个序列a0a1a2……,可以将其映射为实数

 

这个映射指出了从2ω到康托尔集的同胚,表明2ω是一个康托尔空间。

康托尔空间常见于实分析。例如,它们作为子空间存在于每个完美完备空间(要了解这一点,请注意在这样的空间中,任何非空完美集都包含两个直径任意小的不交非空完美子集,因此我们可以模仿通常的康托尔集的构造。)。另外,每个可分不可数完全可度量空间都有康托尔空间作为其子空间。这包括实分析中的大多数常见空间。

特征

布劳威尔定理给出了康托尔空间的拓扑特征:[1]

任意两个无孤点、非空的豪斯多夫空间(有可数,包含闭开集)都是互相同胚的。

具有由闭开集构成的基的拓扑空间,也称为“零维空间”。布劳威尔定理可以重述为

拓扑空间是康托尔空间,当且仅当其非空、是完美集、是紧空间、是完全不连通空间、是可度量的。

该定理还通过Stone布尔代数表示定理等价于:任意两个可数无原子布尔代数都同构

性质

正如布劳威尔定理指出的那样,康托尔空间可以以多种形式出现。但是,康托尔空间的许多性质都可以用2ω确定,因为康托尔空间可以构造为它们的积。

康托尔空间有以下性质:

  • 任何康托尔空间的 ,也就是连续统的势
  • 两个(直至任何有限个或可数个)康托尔空间的积仍然是康托尔空间。这一事实与康托尔函数一同,可以构造空间填充曲线
  • 当且仅当一个(非空)豪斯多夫拓扑空间是一个康托尔空间的连续时,它是紧可度量空间。[2][3][4]

C(X)表示拓扑空间X上所有实值有界连续函数的空间;令K表示紧可度量空间,令Δ表示康托尔集。那么康托尔集具有以下性质:

一般来说,这种同构性不唯一,因此并不是范畴论意义上的泛性质

另见

参考文献

  1. ^ Brouwer, L. E. J., On the structure of perfect sets of points (PDF), Proc. Koninklijke Akademie van Wetenschappen, 1910, 12: 785–794 [2023-08-28], (原始内容存档 (PDF)于2023-04-10) .
  2. ^ N.L. Carothers, A Short Course on Banach Space Theory, London Mathematical Society Student Texts 64, (2005) Cambridge University Press. See Chapter 12
  3. ^ Willard, op.cit., See section 30.7
  4. ^ Pugh "Real Mathematical Analysis" Page 108-112 Cantor Surjection Theorem. [2023-08-28]. (原始内容存档于2023-11-19). 
  5. ^ Carothers, op.cit.
  6. ^ R.D. Anderson, The Algebraic Simplicity of Certain Groups of Homeomorphisms, American Journal of Mathematics 80 (1958), pp. 955-963.