无条件收敛

在数学中，一个级数$\scriptstyle \sum _{i\in {\mathcal {I}}}a_{i}$无条件收敛于一个特定值$\beta$，是指对任意小的差别$\epsilon$，都会存在$\scriptstyle {\mathcal {I}}$中的一个子集$\scriptstyle {\mathcal {S}}$，使得对所有的包含$\scriptstyle {\mathcal {S}}$的集合$\scriptstyle {\mathcal {T}}$，里面的元素加起来的和与$\beta$之间的差距都小于$\epsilon$。

$\left|\sum _{i\in {\mathcal {T}}}a_{i}-\beta \right|\leq \epsilon$

当集合$\scriptstyle {\mathcal {I}}$是可数集合的时候，无条件收敛等价于说“任意排列级数项的顺序都会收敛”，具体来说。一个级数$\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$无条件收敛于一个特定值$\beta$，当且仅当对任意的从自然数到自然数的置换$\sigma$，级数$\sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}$都收敛。

当$\scriptstyle {\mathcal {I}}$是不可数的集合时，无条件收敛也称为网收敛。

定义

设$X$为一个拓扑向量空间，$I$为一个指标集，满足对任意$i\in I$，$x_{i}\in X$。

级数$\textstyle \sum _{i\in I}x_{i}$被称为无条件收敛到$x\in X$的，如果：

• 指标集$I_{0}:=\{i\in I:x_{i}\neq 0\}$是可数集；
• 任意$I_{0}:=\{i\in I:x_{i}\neq 0\}$的排列满足下列关系：$\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}=x$.

与绝对收敛的关系

无条件收敛是定义在装备了距离的赋范向量空间中定义的。在赋范向量空间中还有另外一类收敛，称为绝对收敛。绝对收敛的定义是：一个级数$\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$绝对收敛，当且仅当实数列：

$\sum _{n=1}^{\infty }\|x_{n}\|$

收敛。

对于通常的实数级数或复数级数，无条件收敛和绝对收敛是等价的。在一般的有限维的巴拿赫空间中，两者也是等价的概念。而对于更一般的情况，绝对收敛能够推出无条件收敛，但反之无条件收敛并不能推出绝对收敛。

参见

• 收敛
• 绝对收敛
• 条件收敛

参考来源

• Ch. Heil: 基底理论入门 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 张贤科,许甫华. 《高等代数学》. 清华大学出版社. 2004. ISBN 978-7-302-08227-9. 
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