有界集合
此條目没有列出任何参考或来源。 (2008年12月13日) |
在数学分析和有关的数学领域中,如果一个集合在某種意义上有有限大小,则称为有界。反过来说,不是有界的集合就叫做无界。
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定义
如果存在一个实数 ,使得对于所有 中的 有 ,实数集合 被稱為“上有界”的,这个数 被称为 的上界。可用类似的定义术语“下有界”和下界。
如果集合 有上界和下界二者,則它是有界的。所以,如果一個实数集合包含在有限区间内,則它是有界的。
度量空间
度量空间 的子集 是有界的,如果它包含在有限半径的球内,就是说如果对于所有 中的 ,存在 中的 并且 ,使得 。 是有界度量空间(或 是有界度量),如果 作为自身的子集是有界的。
拓扑向量空间内的有界性
在拓扑向量空间中,存在一個有界集合的不同定义,通常叫做冯·诺伊曼有界性。如果拓扑向量空间的拓扑是由均匀度量所誘導,如度量是由赋范向量空间的范数所誘導的情况,则这两个定义是一致的。
序理论中的有界性
一個实数集合是有界的,当且仅当它有上界和下界。这个定义可扩展到任何偏序集合的子集。注意这个更一般的有界性概念不对应于“大小”的概念。
對於偏序集合 的子集 ,如果 中的所有元素 ,都小於 中的某個元素 ,也就是對於所有 , ,其中 ,則稱S為上有界的(bounded above),而元素 稱為 的上界。同理可定义下有界和下界。(参见上界和下界。)
偏序集合 的子集 叫做有界的,如果它有上界和下界二者,或等价的说,它被包含在一个区间内。注意这不是集合 自己的一个性质,而是集合 作为 的子集的性质。
有界偏序集合 (就是说自身就是有界而不是作为子集)是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意这个有界性的概念与有限大小无关,有界偏序集合 的子集 在 的次序(的限制)下也不必然是有界偏序集合。
的子集 是关于欧几里得距离有界的,当且仅当它在乘积序下作為 的子集是有界的。但是, 可以是在字典序下有界,而不关于欧几里得距离有界。
序数的类被称为是无界的,或共尾的,在给定任何序数的时候,总是有这个类的某个成员大于它。所以在这种情况下,“无界”不意味着自身是无界的而是作为序数类的子类是无界的。