札克变换

数学中,札克变换[1] [2] (英文:Zak Transform,也称盖尔范德映射)是一种变换,输入是一个一元函数,输出是一个二元函数。输出函数称为输入函数的札克变换。该变换以无穷级数定义,其中每一项都是该函数的特定取值和复指数函数的乘积。在信号处理中,札克变换的输入为时域信号,输出是该信号的混合表示。输入信号取值可为实值复值,可定义在连续集(如全体实数)或离散集(如整数或整数的子集)上。札克变换是离散时间傅立叶变换的推广。 [1] [2]

札克变换在不同领域被多人独立发现,各自命名。伊斯拉埃尔·盖尔范德在其关于特征函数的工作中首次引入了这一变换,因而其也被称为盖尔范德映射。1967年,约书亚·札克独立地重新发现了这一变换,称之为“k-q表示”。本领域工作者普遍称这一变换为札克变换,因为札克首先意识到了它的应用前景,并在更一般的情况下,对其进行了更系统的研究。[1][2]

连续时间札克变换:定义

在连续时间札克变换中,假定输入函数为实变函数,设  为实变量t的函数,  的连续时间札克变换结果为一个二元函数,其中一个变量是t ,另一个变量用w表示,可由如下多种方式定义:

定义1

a为大于0的常数, 的连续时间札克变换可定义如下:[1]

 

定义2

在定义1中,有时取a = 1。[2] 在这种情况下, 的连续时间札克变换可以简化为:

 

定义3

有时,连续时间札克变换可由定义1简化为不同于定义2的另一种形式。在这种形式下,  的连续时间札克变换为:

 

定义4

T为为大于0的常数。  的连续时间札克变换也可由下式定义:[2]

 

此时,tw满足: ,  

示例

试求如下函数的札克变换:

 

解:

 

其中 表示不小于 的最小整数(ceil函数)。

札克变换的性质

以下讨论中的札克变换均采用定义二:

1.线性

ab为任意复数,则:

 

2.周期性

 

3.准周期性

 

4.共轭性

 

5.对偶性

 是偶函数,则: 
 是奇函数,则: 

6.卷积性

 表示对变量t卷积

 

逆变换公式

给定函数的札克变换,原函数可用下式计算:

 

离散札克变换:定义

 是一个定义在整数域上的函数,即自变量n是一个整数,满足  。与连续时间札克变换相同, 的离散札克变换同样是一个二元函数,其中一个自变量是  ,另一个变量是一个实数,表示为  ;离散札克变换同样有不同的定义,下面给出其中一种定义方式:

定义

函数的离散札克变换 ,记为 ,由下式定义,其中 是一个整数:

 

逆变换公式

给定函数的离散札克变换  ,原函数可用下式计算:

 

应用

札克变换在物理学中的量子场论[3]电气工程中信号的时频表示与数字通信中均有应用。

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Zak transform. Encyclopedia of Mathematics. [15 December 2014]. (原始内容存档于2014-12-19). 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Alexander D. Poularikas (编). Transforms and Applications Handbook 3rd. CRC Press. 2010: 16.1–16.21. ISBN 978-1-4200-6652-4. 
  3. ^ J. Klauder, B.S. Skagerstam. Coherent States. World Scientific. 1985.