泽尔尼克多项式

泽尔尼克多项式是一个以1953年获诺贝尔物理学奖荷兰物理学家弗里茨·泽尔尼克命名的正交多项式,分为奇、偶两类

头15个泽尔尼克多项式
20个泽尔尼克多项式 以Noll序列表示

奇多项式:

偶多项式


其中 为非负整数,

方位角

 为径向距离

如果 n-m为偶数则


如果n-m为奇数,则

泽尔尼克多项式的超几何函数表示

泽尔尼克多项式也可以表示为超几何函数

 


Noll 序列

Noll 用一个J数字表示 [n,m]:如下表

n,m 0,0 1,1 1,−1 2,0 2,−2 2,2 3,−1 3,1 3,−3 3,3
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n,m 4,0 4,2 4,−2 4,4 4,−4 5,1 5,−1 5,3 5,−3 5,5
j 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

泽尔尼克多项式

由于

 

其中 因j而异,

 
 
 
 
 

必须先归一化

 

使得

 


归一化泽尔尼克多项式以Noll序列排列如下:

Noll index ( ) Radial degree ( ) Azimuthal degree ( )   Classical name
1 0 0   Piston
2 1 1   Tip (lateral position) (X-Tilt)
3 1 −1   Tilt (lateral position) (Y-Tilt)
4 2 0   Defocus (longitudinal position)
5 2 −2   Astigmatism
6 2 2   Astigmatism
7 3 −1   Coma
8 3 1   Coma
9 3 −3   Trefoil
10 3 3   Trefoil
11 4 0   Third-order spherical
12 4 2  
13 4 −2  
14 4 4  
15 4 −4  

正交性

径向正交性
 
角度正交性
 
 
 

其中   称为Neumann因子,其数值为 2 如果满足   ,数值为 1,如果  .

径向与角度正交性
 

其中   为 雅可比矩阵

   都是偶数.


参考文献