歐幾里得幾何中的基本組成部分

几何学拓扑学以及数学的相关分支,空间中的用于描述给定空间中一种特别的对象,在空间中有类似于体积、面积、长度或其他高维类似物。点是零维度对象。点作为最简单的几何概念,通常作为几何物理矢量图形和其他领域中的最基本的组成部分。

數學的點-歷史

亞里斯多德的著作《論天體》第三冊已經提到數學中的點沒有大小[1][2],他依此來駁斥柏拉圖將數學的幾何形視為物理實體的構成要素[3](參見正多面體),並強調這與數學思想相違背[4]:「數學的平面沒有厚度,不能構造物理實體。」他論述說,如果數學平面有厚度,那麼數學的線就要有寬度才能夠構成平面,而數學的點必須有大小才能構成線,但數學已經明確定義數學的點沒有大小,柏拉圖的理論與數學相牴觸。從這裡,亞里斯多德陳述說,幾何物件只能分割成相同型態的幾何物件(而不會變成其它東西):平面只能分割成平面,而不能分割成線;線只能分割成線,不能分割成點;這樣可以無限分割,而不是像原子論者所說,最後分割到原子(或是基本構成要素)就停止。

因此,早在歐幾里得的《幾何原本》之前,數學的點只用來標示位置的用法已經是共識。亞里斯多德提到點的時候,用的字是στιγμὰς,是可見的點(spot),而歐幾里得則(小心翼翼的)採用另一個字σημεῖόν,原意是「標示」(sign):

σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.[5]

這句話的意思是:「點是沒有部分(μέρος)的東西」。點沒有部分,也就沒有大小[6]。這論點源自亞里斯多德的「部分-整體」理論(part–whole theory):

"the parts are causes of the whole"[7](整體由部份構成。)

幾何原本》的阿拉伯文版將σημεῖόν譯為نقطة[8],意思回到亞里斯多德的可見點[9];拉丁文版則將σημεῖόν翻譯為punctum[10],意思是尖物刺成的小洞。

歐幾里得幾何的点

 
二维欧式空间中的有限点集(蓝色).

歐幾里得幾何是空間中只有位置,沒有大小的圖形。點是整門歐幾里得幾何學的基礎,後者是研究點,的一種科學。欧几里得最初含糊的定义点作为「没有部分的东西」。在二维欧式空间,点表示为有序对 ,第一个数习惯表示水平位置,通常记为 ,第二个数习惯表示竖直位置,通常记为 。这思想很易延伸到三维情况,此时一点表示为有序三元组 ,第三个数表示高度,通常记为z。更加一般的情况下,点表示为有序n元组 ,其中n为点所在的空间的维度。

現代數學語言,任何集合的元素都叫「點」,但與三維空間的點可以没有任何關係。

其他数学分支的点

点集拓扑的点,定义为拓扑空间中的集合的元素。

尽管点看作是几何学和拓扑学的主要基本概念,但非交换几何非点集拓扑等几何和拓扑理论并不需要点的概念。「非点空间」不是作为集合来定义,而是以某种像几何的函数空间结构(代数或逻辑的):连续函数代数或集合代数。

算術的点

1點(Basis Point)定義為“百分之零點零一”(0.01%)或“百分點的一百分之一”,可用符號‱表示。它在計算利率、匯率、股票價格等範疇廣泛應用,這些範疇須計算極微小的百分數。簡單來說,一百點=百分之一(100‱=1%)、一萬點=百分之一百=一(10000‱=100%=1)。比較百分數除了可以用百分點,兩個百分數之間的細微差距也可用點來表達,如4.02%與4.05%相差0.03百分點。

參考資料

  1. ^ 論天體,第三冊页面存档备份,存于互联网档案馆),Thomas Aquinas 翻譯與註解
  2. ^ 論天體,第三冊页面存档备份,存于互联网档案馆),The Internet Classics Archive
  3. ^ Ancient Atomism, 3. Plato and Platonists页面存档备份,存于互联网档案馆), 史丹佛哲學百科
  4. ^ WHY DOES PLATO'S ELEMENT THEORY CONFLICT WITH MATHEMATICS (PDF). [2016-05-23]. (原始内容存档 (PDF)于2021-04-02). 
  5. ^ 幾何原本,原文第一冊,定義一页面存档备份,存于互联网档案馆),柏修斯數位圖書館
  6. ^ Euclid's Elements of Geometry: From the Latin Translation of Commandine, by John Keill
  7. ^ Metaphysics, Book V页面存档备份,存于互联网档案馆), The Internet Classics Archive
  8. ^ Euclid, Elements页面存档备份,存于互联网档案馆),阿拉伯文版
  9. ^ Wiktionary: نقطة. [2016-05-23]. (原始内容存档于2021-04-02). 
  10. ^ Euclid's Elements in the middle ages, Boethius tradition. [2016-05-23]. (原始内容存档于2021-04-02).