物理空间代数

物理学中，物理空间代数 （APS）是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数 ${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$ 作为(3+1)维时空的模型，通过副向量（3维向量加1维标量）表示时空中的一个点。

克利福德代数 ${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$ 在旋量表示 $\mathbb {C} ^{2}$ 上有由泡利矩阵生成的忠实表示；此外， ${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$ 同构于克利福德代数 ${\rm {Cl}}_{3,\ 1}(\mathbb {R} )$ 的偶子代数 ${\rm {Cl}}_{3,\ 1}^{[0]}(\mathbb {R} )$ 。

APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。

注意APS与时空代数（STA）不同，后者涉及4维闵氏时空的克利福德代数 ${\rm {Cl}}_{1,\ 3}(\mathbb {R} )$ 。

狭义相对论

时空位置副向量

APS中，时空位置可表为副向量 $x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},$

其中时间由标绿部分 $x^{0}=t$ 给出， ${\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2},\ {\vec {e}}_{3}$ 是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是 $c=1$ ，称作自然单位制。在泡利矩阵表述中，单位基向量被泡利矩阵代替，标量部分被单位矩阵代替，这意味着时空位置的泡利矩阵表述为 $x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}$

洛伦兹变换与转子

保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换，可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现： $L=e^{{\frac {1}{2}}W}.$

在矩阵表示中，洛伦兹转子被看作是 ${\rm {SL}}(2,\ \mathbb {C} )$ 群（复数上度为2的特殊线性群）的一个例子，其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件，转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积： $L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.$

此洛伦兹转子总可以分解为两个因子，是厄米的 $B=B^{\dagger }$ 与幺正的 $R^{\dagger }=R^{-1}$ ，使得 $L=BR.$

酉元R称作转子，因为其编码了旋转，厄米元B则编码了递升。

四维速度副向量

四维速度也称原速，定义为时空位置副向量对原时τ的导数： $u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].$

定义普通速度为 $\mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),$

回想伽马因子的定义： $\gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},$

于是原速的更紧凑定义是： $u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).$

原速是正幺模副向量，意味着下列克利福德共轭条件： $u{\bar {u}}=1.$

在洛伦兹转子L作用下，原速变换为 $u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.$

四维动量副向量

APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到： $p=mu,$ 质壳条件转化为 ${\bar {p}}p=m^{2}.$

经典电动力学

电磁场、电势与电流

电磁场可表为双副向量F： $F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,$ 其中厄米部分代表电场E，反厄米部分代表磁场B。在标准泡利矩阵表示中，电磁场为 $F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.$

场F的源是电磁四维电流 $j=\rho +\mathbf {j} \,,$ 其中标量部分等于电荷密度ρ，向量部分等于电流密度j。引入电磁势副向量： $A=\phi +\mathbf {A} \,,$ 当中标量部分等于电势ϕ，向量部分等于磁势A。则电磁场为 $F=\partial {\bar {A}}.$ 此场也可分为电部分 $E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}$ 与磁部分 $B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}$ 当中 $\partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}$ 且F在下列规范变换下不变： $A\rightarrow A+\partial \chi \,,$ 其中 $\chi$ 是标量场。

电磁场在洛伦兹变换下是协变的，规律是 $F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.$

麦克斯韦方程组与洛伦兹力

麦克斯韦方程组可用单一方程表示： ${\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,$ 其中上横线表示克利福德共轭。

洛伦兹力方程形式为 ${\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.$

电磁拉格朗日量

电磁拉格朗日量是 $L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,$ 是实标量不变量。

相对论量子力学

对质量为m、电荷为e的带电粒子，其狄拉克方程的形式为 $i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },$ 其中 ${\vec {e}}_{3}'$ 是任意酉向量，A是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过最小耦合包含在势A中。

经典旋量

与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的微分方程为 ${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,$ 这样，原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来： $u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },$ 积分之，就可得到时空轨迹 $x(\tau )$ ，同时还能使用 ${\frac {dx}{d\tau }}=u.$

另见

参考文献

教科书

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Doran, Chris; Lasenby, Anthony. Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. 2007 [2003]. ISBN 978-1-139-64314-6.
Hestenes, David. New Foundations for Classical Mechanics 2nd. Kluwer. 1999. ISBN 0-7923-5514-8.

文章

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