矩問題

試從矩確定生成該些矩的測度

数学上,矩问题詢問是否可以由一個测度 μ 的序列

確定該測度。更一般地,亦可考虑序列

其中 Mn 為任意一列函數。

簡介

最典型的例子中,μ 取為實數線上的測度,並取 M 為序列 {xn : n = 0, 1, 2, ... }. 此種矩问题源自概率论,其意義為:是否存在一個概率測度,其平均数方差等組成的序列等於給定的序列,又及該測度是否唯一。

矩問題當中,有三種以人名命名,分別為:允許 μ 的支撑集為全條實軸的Hamburger 矩問題英语Hamburger moment problem、支撑集為 [0,+∞) 的斯蒂爾吉斯矩問題英语Stieltjes moment problem,以及支撑集為有界閉區間(不失一般性可設為 [0, 1]) 的豪斯多夫矩問題英语Hausdorff moment problem

存在性

一個序列 mn 為某個測度 μ 的矩,當且僅當其汉克尔矩阵 Hn,

 

半正定。 這是因為一個半正定的汉克尔矩陣對應一个线性泛函  ,其滿足   (即:當作用於多项式的平方和時,其結果非負)。假设   可以扩展成   的元素。在单变量的情况下,非負的多项式必為若干個多項式的平方和,故线性泛函  於非負多项式處均取非負值。由 Haviland (1936),該线性泛函有測度形式,亦即  . 在有界區間 [a, b] 上,測度   的存在性也有類似形式的充要條件。

可用以下方法證明上述結論。設线性泛函   將多项式

 

映到

 

mkn 為以 [a, b] 為支撑的測度 μ 的矩,則

φ(P) ≥ 0 對任意在 [ab] 上非負的多項式 P 都成立。 1

反之,如果 (1) 為真,則可運用M. 里斯擴展定理英语M. Riesz extension theorem  擴展成 C0([a, b]) 上的線性泛函,其滿足

 . 2

里斯表示定理,(2) 成立當且僅當存在以 [a, b] 為支撐的測度 μ ,使得

 

对任意的 fC0([a, b]) 成立。

由此可見,   的存在性等價於 (1). 再利用 [a, b] 上的非負多項式的表示定理,即可將 (1) 寫成一個關於汉克尔矩阵的條件。

詳見 Shohat & Tamarkin 1943Krein & Nudelman 1977

唯一性

豪斯多夫矩問題中,可由魏尔斯特拉斯逼近定理得到 μ 的唯一性。該定理斷言:[0, 1] 上的連續函數集中,在一致範數的意義下,多項式集稠密的。至於在無窮區間上的矩問題,唯一性是一個更深入的問題。參見 Carleman 條件英语Carleman's condition(1922)、Krein 條件英语Krein's condition (1940s) 和 Akhiezer (1965).

变式

矩問題的一個重要變式是截尾矩問題,其研究具有給定前 k (不為無窮大)階矩的測度的性質。截尾矩問題的研究成果,可以應用在极值问题、优化理論,以及概率论的極限定理上。 参见: 切比雪夫–马可夫–斯蒂爾吉斯不等式英语Chebyshev–Markov–Stieltjes inequalitiesKrein & Nudelman 1977.

參見

参考文献