祖暅原理

数学原理

gèng原理,又名等幂等积定理[1],是指所有等高处横截面积相等的两个同高立体,其体积也必然相等的定理。祖暅之《綴術》有云:「緣冪勢既同,則積不容異[2]。」

该原理最早由中国古代数学家刘徽提出[1]南北朝祖冲之儿子祖暅再次提出[3],兩父子用这原理求出牟合方盖体积,进而算出体积。17世纪欧洲意大利数学家卡瓦列里亦發現相同定理,所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理[3][4]

在現代的解析幾何測度應用中,祖暅原理是富比尼定理的一個特例。卡瓦列里沒有對這條的嚴謹證明,只發表在1635年的Geometria indivisibilibus以及1647年的Exercitationes Geometricae,用以證明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以計算某些立體的體積,甚至超越了阿基米德克卜勒的成績。這定理引發了以面積計算體積的方法並成了積分發展的重要一步。

簡單應用

圓柱體

 
圓柱體

如果垂直轉軸切開圓柱體,設r為半徑,可得到橫切面積為 的圓。根據祖暅原理,圓柱體積相等於底面積相等於圓面積 、高h的長方體,所以半徑r和高h的圓柱體積是 

半球體

 
垂直(上)以及水平(下)切開半球體和對照立體

從其中一層以垂直表面的高h橫切半徑為r的半球體,根據勾股定理,半徑為

 

所以橫切面積是

 

對照立體是個有與半球體相同橫切面積和高的立體,中間有一圓錐體。高h的對照立體環形切面有內圓周h及外圓周r,其面積為

 

因此兩個立體都滿足祖暅原理並有相同體積。對照立體的體積就是圓柱體和圓錐體體積之差,所以

 

成功利用這條有名的方程計出半球體積,從而導出球體積公式。

微積分

 
兩條方程積分後的差與兩條方程式之差的積分

祖暅原理背後概念常在微積分出現。作為維度的一個例子,因此兩條方程在兩交點間的面積可用以下方程獲得:

 

實質上表示了函數f和g間的 面積與函數圖形 下的 相同,而後者的交點距離與前者相等。由於現代數學的積分和面積的互相關係,而體積可以微分計算,使祖暅原理變得更少用。

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 王树禾. 《数学演义》. 科学出版社. : P34. ISBN 9787030218377. 
  2. ^ 高红成,王瑞《祖暅原理的形成及其现实教育意义》 出自《商洛师范专科学校学报》2001年04期
  3. ^ 3.0 3.1 王树禾. 《数学演义》. 科学出版社. : P36. ISBN 9787030218377. 
  4. ^ 存档副本. [2007-04-22]. (原始内容存档于2007-09-27).  已忽略未知参数|deadurˇl= (帮助)