等比数列

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等比数列，是数列的一种。在等比数列中，任何相邻两项的比例相等，该比值称为公比。因为数列中的任意一項都等于相邻两项的几何平均数，所以又名几何数列（英語：Geometric progression）。

例如数列：

3,6,12,24,48,96,...

就是一个等比数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公比都等于 $2$ 。

性質

如果一个等比数列的首项記作 $a$ ，公比記作 $r$ ，那么该等比数列第 $n$ 项 $a_{n}$ 的一般項为：

a_{n}=ar^{n-1}

換句話說，任意一個等比数列 $\{a_{n}\}$ 都可以寫成

\{a\,,\,\,ar\,,\,\,ar^{2}\,,\,\cdots \,,\,\,ar^{n-1}\}

在一個等比數列中，給定任意兩相連項 $a_{n+1}$ 和 $a_{n}$ （其中 $a_{n}\neq 0$ ），可知公比

r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}

給定任意兩項 $a_{m}$ 和 $a_{n}$ ，則有公比

r={\sqrt[{m-n}]{\frac {a_{m}}{a_{n}}}}

這裡注意，若 $m-n$ 是偶數，則公比可取此結果的正值或負值。

此外，在一個等比数列中，選取某一項，該項的前一項與後一項之積，為原來該項的平方。舉例來說， $a_{1}\times a_{3}={a_{2}}^{2}$ 。

更一般地說，有：

a_{n-1}\times a_{n+1}={a_{n}}^{2}

證明如下：

{\begin{aligned}a_{n-1}\times a_{n+1}&=ar^{n-2}\times ar^{n}\\&=a^{2}\times r^{2n-2}\\&=(ar^{n-1})^{2}\\&={a_{n}}^{2}\\\end{aligned}}

證畢。

從另一個角度看，等比數列中的任意一項，是其相邻两项的幾何平均：

a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}}

此結果從上面直接可得。

如果有整數 $m,n,p,q$ ，使得 $m+n=p+q$ ，那么则有：

a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}

證明如下：

{\begin{aligned}a_{m}\cdot a_{n}&=ar^{m-1}\cdot ar^{n-1}\\&=a^{2}r^{m+n-2}\\&=a^{2}r^{p+q-2}\\&=ar^{p-1}\cdot ar^{q-1}\\&=a_{p}\cdot a_{q}\\\end{aligned}}

由此可將上面的性質一般化成：

a_{n-k}\cdot a_{n+k}={a_{n}}^{2}

a_{n}=\pm {\sqrt {a_{n-k}\cdot a_{n+k}}}

其中 $k$ 是一個小於 $n$ 的正整數。

給定一個等比數列 $\{a_{n}\}$ ，則有：

$\{b\cdot a_{n}\}$ 是一個等比數列。
$\{{\frac {b}{a_{n}}}\}$ 是一個等比數列。
$\{\log _{b}(a_{n})\}$ 是一個等差數列。

從等比數列的一般項可知，任意一個可以寫成

a_{n}=pq^{n}

形式的數列，都是一個等比數列，其中公比 $r=q$ ，首項 $a=pq$ 。

公比

公比（英語：Common ratio）是对于等比数列这一特殊数列而言的，它是指在等比数列中后一项与前一项的商。

等比数列的通项公式

等比数列都满足： ${\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}=q$ 。例如，数列3、9、27、81……的公比是3。注意公比不能是0（因為N÷0），否则為未定义。

等比数列和

一個等比數列的首 $n$ 項之和，稱為等比数列和（sum of geometric sequence）或幾何級數（geometric series），記作 $S_{n}$ 。

舉例來說，等比數列 $\{1,2,4,8\}$ 的和是 $1+2+4+8=15$ 。

等比數列求和的公式如下：

S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}

其中 $a$ 為首項， $n$ 為項數， $r$ 為公比，且 $r\neq 1$ 。

公式證明如下：

将等比數列和写作以下形式：

S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}

……(1)

将两边同乘以公比 $r$ ，有：

rS_{n}=ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n}

……(2)

(1)式减去(2)式，有：

(1-r)S_{n}=a-ar^{n}

当 $r\neq 1$ 时，整理後得證。

當 $r=1$ 時，可以发现：

{\begin{aligned}S_{n}&=a+ar+ar^{2}+\cdots +ar^{n-1}\\&={\begin{matrix}\underbrace {a+a+a+\cdots +a} \\n\end{matrix}}\\&=n\times a\\&=an\\\end{aligned}}

综上所述，等比数列的求和公式为：

S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}&r\neq 1\\an&r=1\end{cases}}

當 $-1<r<1$ 時，注意到

\lim _{n\rightarrow \infty }r^{n}=0

因此，我們可得無限項之和（sum to infinity）的公式為

S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}

由此可見，當 $-1<r<1$ 時，幾何級數會收斂到一個固定值。

等比数列积

一個等比數列的首 $n$ 項之積，稱為等比数列積（product of geometric sequence），記作 $P n$ 。

舉例來說，等比數列 $\{1,2,4,8\}$ 的積是 $1\times 2\times 4\times 8=64$ 。

等比數列求積的公式如下：

P_{n}=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}

證明如下：

{\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdot \cdots \cdot ar^{n-1}\\&=a^{n}\cdot r^{0+1+2+\cdots +(n-1)}\\&=a^{n}\cdot r^{\frac {n(n-1)}{2}}\\\end{aligned}}

第二步，公比r的指數中，0來自於數列的第一項。最後一步，使用了等差數列的求和公式，通項為 $n-1$ 。

参见

参考文献

Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

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