提示 ：此条目页的主题不是
绝对值 。
绝对赋值 是Hensel 引进p进数 后发展出的一个概念，常用于单变量代数函数论或者类域论 方面的研究。
确切的说，绝对赋值 是一个函数 ，是整环 或域 的元素的“大小”的度量。更确切地说，对整环D，一个绝对赋值| x |是从D到实数R，且满足下列条件的任何映射：
|x| ≥ 0,
|x| = 0 当且仅当 x = 0,
|xy| = |x||y|,
|x + y| ≤ |x| + |y|. 从第二条和第三条可以看出，| 1 |=1, | -1| = 1。此外，对于任意正整数 n，
| 1+1+...(n次) | = | −1−1...(n次) | ≤ n. 注意有些英文书绝对赋值叫赋值 （valuations）、范数 （norm）、量值（magnitude）。
如果|x+ y|满足更强的属性 |x+ y|≤MAX（|x|，|y|），那麽|x|被称为超度量 或非阿基米德 绝对赋值，否则就叫阿基米德 绝对赋值。每一个整环有至少有一个绝对赋值，称为平凡赋值 。这种绝对赋值是：当x= 0时|x|= 0，x≠ 0时|x|= 1，有限域只能有平凡赋值 。| x |1 < 1 当且仅当 | x |2 < 1. ，那么这两个绝对赋值相等.如果两个非平凡绝对赋值是相等的，那么一些指数e，有 | x |1 e x |2 。（请注意，不能提高绝对赋值的次幂来获得另一个不同的绝对赋值，例如对实数，一个绝对赋值平方后产生另一个不同值，这种情况就不是一个绝对赋值函数。）绝对赋值可导致到等价类来理解，换言之绝对赋值的等价类，被称为一个素点 。奥斯特洛夫斯基定理 指出，有理数Q中，p-adic数是非平凡绝对赋值，每一个素数p的绝对赋值是有理数Q的素点 ：
q = p n a /b ), 其中a，b是不被p整除的整数。
|
p
n
a
b
|
p
=
p
−
n
.
{\displaystyle \left|p^{n}{\frac {a}{b}}\right|_{p}=p^{-n}.}
素点的定义就来自上面普通绝对赋值和p的绝对赋值。
设
R
=
C
[
x
,
y
]
{\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {R}}=\mathbb {C} [x,y]}
复域 的两个变量的多项式环 ，
K
=
C
(
x
,
y
)
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} =\mathbb {C} (x,y)}
有理函数 ，并考虑收敛 ：
f
(
x
,
y
)
=
y
−
∑
n
=
3
∞
x
n
n
!
∈
C
{
x
,
y
}
{\displaystyle f(x,y)=y-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\in \mathbb {C} \{x,y\}}
t
{\displaystyle t}
解析零点 集为
V
f
{\displaystyle \scriptstyle V_{f}\,}
多项式环 的形式幂级数环 ：
V
f
=
{
(
x
,
y
)
∈
C
2
|
f
(
x
,
y
)
=
0
}
=
{
(
x
,
y
)
∈
C
2
|
(
x
,
y
)
=
(
t
,
∑
n
=
3
∞
t
n
)
}
{\displaystyle V_{f}=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}\,|\,f(x,y)=0\}=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}\,|\,(x,y)=\left(t,\sum _{n=3}^{\infty }t^{n}\right)\right\}}
映射
v
:
C
[
x
,
y
]
→
Z
{\displaystyle \scriptstyle v:\mathbb {C} [x,y]\rightarrow \mathbb {Z} }
C
[
x
,
y
]
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} [x,y]}
P
{\displaystyle P}
限制 ：
v
(
P
)
=
o
r
d
t
(
P
|
V
f
)
=
o
r
d
t
(
P
(
t
,
∑
n
=
3
+
∞
t
n
)
)
∀
P
∈
C
[
x
,
y
]
{\displaystyle v(P)=\mathrm {ord} _{t}\left(P|_{V_{f}}\right)={\mathrm {ord} }_{t}\left(P\left(t,\sum _{n=3}^{+\infty }t^{n}\right)\right)\quad \forall P\in \mathbb {C} [x,y]}
逆映射 也可能得到延拓 （扩张）：
v
(
P
/
Q
)
=
{
v
(
P
)
−
v
(
Q
)
∀
P
/
Q
∈
C
(
x
,
y
)
∗
∞
P
≡
0
∈
C
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(P/Q)={\begin{cases}v(P)-v(Q)&\forall P/Q\in {\mathbb {C} (x,y)}^{*}\\\infty &P\equiv 0\in \mathbb {C} (x,y)\end{cases}}}
若形式幂级数环 不是多项式环 产生的，则容易证明上面逆映射延拓 是赋值，在几何上叫曲线 （一维 解析代数簇 ）的交点 。
如：
v
(
x
)
=
o
r
d
t
(
t
)
=
1
v
(
x
6
−
y
2
)
=
o
r
d
t
(
t
6
−
t
6
−
2
t
7
−
3
t
8
−
⋯
)
=
o
r
d
t
(
−
2
t
7
−
3
t
8
−
⋯
)
=
7
v
(
x
6
−
y
2
x
)
=
o
r
d
t
(
−
2
t
7
−
3
t
8
−
⋯
)
−
o
r
d
t
(
t
)
=
7
−
1
=
6
{\displaystyle {\begin{array}{l}v(x)=\mathrm {ord} _{t}(t)=1\\v(x^{6}-y^{2})=\mathrm {ord} _{t}(t^{6}-t^{6}-2t^{7}-3t^{8}-\cdots )=\mathrm {ord} _{t}(-2t^{7}-3t^{8}-\cdots )=7\\v\left({\frac {x^{6}-y^{2}}{x}}\right)=\mathrm {ord} _{t}(-2t^{7}-3t^{8}-\cdots )-\mathrm {ord} _{t}(t)=7-1=6\end{array}}}
Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II 2nd , New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9Zbl 0694.16001 Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics 29 , New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8
![{\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {R}}=\mathbb {C} [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55cbdd4a478f3a29b12486d4c5be2871a623ba)
![{\displaystyle \scriptstyle v:\mathbb {C} [x,y]\rightarrow \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ec89d099764fad993fca910a07b397571628ed)
![{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca002bf4639929dcd8e3397c8eaa525d0ac28f6)
![{\displaystyle v(P)=\mathrm {ord} _{t}\left(P|_{V_{f}}\right)={\mathrm {ord} }_{t}\left(P\left(t,\sum _{n=3}^{+\infty }t^{n}\right)\right)\quad \forall P\in \mathbb {C} [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25cd88238a5b4faae3406bbb4cfc5beca40c0881)
