範疇 (數學)

在范畴论中，范畴这一概念代表一些数学对象及这些对象间的一些关系，以及这些关系之间的关系。利用范畴可以公式化抽象结构并保留结构上的关系，如运算。范畴几乎可以出现于现代数学的任意分支，同时也统合了这些分支的底层理念。对范畴本身的研究就称作范畴论。

定義

范畴

一个范畴 ${\mathcal {C}}$ 意指资料 $(\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}},\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}};\circ )$，其中：

• 一個由对象（Object）所構成的類 $\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}$；
• 物件間的态射（Morphism）所構成的類 $\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}$。每一個態射 $f\in {\mathrm {Mor\ } }{\mathcal {C}}$ 均蕴含确定的「始对象（Domain）」$A$ 和「终对象（Codomain）」$B$，且 $A,B\in \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}$。此时记 $f\colon A\to B$，称 $f$ 为从 $A$ 到 $B$ 的一个态射。所有由 $A$ 至 $B$ 的态射构成类，记作 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)$，不致混淆时，也记作 $\mathrm {Hom} \ (A,B)$；
• 对任意态射对 $(A,B)$ 有态射复合 $\circ$ 如下：

${\begin{aligned}\circ (-,-)\colon \ &\mathrm {Hom} \ (A,B)\times \mathrm {Hom} \ (B,C)&\to &\quad \mathrm {Hom} \ (A,C),\\&(f,g)&\mapsto &\quad f\circ g,\end{aligned}}$

其中，$f\circ g$ 在不致混淆时也记作 $fg$。

此態射複合滿足下列公理：

• （結合律）对态射 $f\colon A\to B$，$g\colon B\to C$ 和 $h\colon C\to D$，有 $f(gh)=(fg)h$；
• （幺元）对任意对象 $X$，存在一态射 $1_{X}\in \mathrm {Hom} \ (X,X)$，使得对任意态射 $f\in \mathrm {Hom} \ (A,B)$，均满足 $1_{B}f=f=f1_{A}$。态射 $1_{X}$ 称作「$X$ 的单位态射」。

根据上述公理可以证明，对每个特定对象而言，单位态射具唯一性。在这样的等价关系上，部分作者视对象与其单位态射为同一概念。

图 1：$\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}$ 与 $\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}$ 间的映射

显然，$\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}$ 和 $\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}$ 间自然地存在三个映射：$\mathrm {Id} \colon \ X\mapsto 1_{X}$，$\mathrm {Dom} \colon \ f\mapsto A$，$\mathrm {Cod} \colon \ f\mapsto B$，如图 1 所示。

小范畴和局部小范畴

一个范畴 ${\mathcal {C}}$ 称作小范畴（Small Category），当且仅当其态射类 $\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}$ 比真类小，即仅有集合那么大。

一个范畴 ${\mathcal {C}}$ 称作局部小范畴（Locally Small Category），当且仅当对任意对象对 $(A,B)\in (\mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}})^{2}$，其对应的的态射类 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)$ 均为非真类的集合。

数学研究中，许多重要的范畴（例如集合的范畴），通常即使非小，也是局部小的。

例子

每一範疇都可由其物件、態射和態射複合來表示。

• 所有集合的範疇Set，其態射為集合間的函數，而態射複合則為一般的函數複合。（下列皆為具體範疇的例子，即在Set上加入一些結構，且要求態射為對應於此附加結構的函數，態射複合則為簡單的一般函數複合。）
  • 所有預序關係的範疇Ord，其態射為單調函數。
  • 所有原群的範疇Mag，其態射為原群間的同態。
  • 所有群的範疇Grp，其態射為群間的群同態。
  • 所有阿貝爾群的範疇Ab，其態射為群間的群同態。
  • 所有環的範疇Ring，其態射為環同態。
  • 所有於體K（維持固定）上的向量空間的範疇Vect_K，其態射為線性映射。
  • 所有拓樸空間的範疇Top，其態射為連續函數。
  • 所有度量空間的範疇Met，其態射為度量映射。
  • 所有一致空間的範疇Uni，其態射為一致連續函數。
  • 所有光滑流形的範疇Man^p，其態射為p次連續可微映射。
• 所有小範疇的範疇Cat，其態射為函子。
• 所有集合的範疇Rel，其態射為關係
• 任一預序集合(P, ≤)都會形成一個小範疇，其物件為P的元素，態射為由x至y若x ≤ y（而態射複合的公理則是必然滿足的，因為由任一物件至另一物件間至多只存在一個態射）。
• 任一么半群都會形成一個具單一個物件x的小範疇（此處的x是任一個固定的集合）。從x至x的態射恰好是么半群的元素，且其態射複合由么半群的運算所給定。么半群令態射絕不可能為函數，唯一從單元素集合x至x的函數為當然函數。可視範疇為廣義化了的么半群；一些和么半群有關的定義和定理也可能可以義廣化成範疇的定義和定理。
• 任一有向圖都會產生一個小範疇：其物件為圖的頂點，態射為圖中的路徑，而態射複合則為路徑的串接。這被稱之為由圖產生出的「自由範疇」。
• 若I是一個集合，「在I上的具體範疇」會是個小範疇，其物件為I的元素，而態射則只有單位態射。當然，其態射複合的公理是必然滿足的。
• 任一範疇C皆可以另一種方式被視為是一個新的範疇：其物件和原範疇的一樣，但態射則和原範疇相反。這被稱之為對偶範疇，標記為C^op。
• 若C和D為範疇，可形成一「積範疇」C×D：其物件為由C和D內的物件所組成的對，且態射亦為由C和D內的態射所組成的對。這些對的態射複合是由各元素各自複合。

態射類型

一个态射f : a → b被称为

• 单态射，若且唯若对于所有的态射g₁, g₂ : x → a，fg₁ = fg₂可推得g₁ = g₂.
• 满态射，若且唯若对于所有的态射g₁, g₂ : b → x，g₁f = g₂f 可推得g₁ = g₂.
• 双态射，若且唯若f 既是单态射又是满态射
• 收缩（retraction），若且唯若它有右逆，也就是说，如果存在一个态射g : b → a滿足fg = 1_b。收縮又被稱作分裂满态射。
• 截面（section），若且唯若它有左逆，也就是说，如果存在一个态射g : b → a滿足gf = 1_a。截面又被稱作分裂单态射。
• 同构，若且唯若它有逆，即如果存在态射g : b → a满足fg = 1_b且gf = 1_a.
• 同态，若且唯若a = b. a的同态的类表示为end(a)。
• 自同构，若且唯若f既是同态又是同构。a的自同构的类表示为aut(a)。

下述三个命题是等价的：

• f 是单态射且是收缩。
• f 是满态射且是截面。
• f 是同构。

态射之间的关系（例如fg = h）可以非常方便地表示为交换图表，其中物件表示为点，态射表示为箭头。

範疇類型

• 在许多范畴中，例如阿贝尔群范畴或向量空间范畴，态射集合hom(a, b)不仅是集合，而且还是阿贝尔群，并且态射的复合与这些阿贝尔群之间的群结构兼容，即复合映射是双线性的。这种范畴称为预可加范畴。如果在此基础上这个范畴还带有所有有限积和上积，那么我们称之为可加范畴。如果更进一步地，所有态射都有核和上核，并且每个满态射都是上核而每个单态射都是核，那么我们称之为阿贝尔范畴。阿贝尔范畴的典型例子是阿贝尔群的范畴。
• 范畴是完备的当其拥有所有极限。集合、阿贝尔群、拓扑空间的范畴都是完备的。
• 范畴是笛卡尔闭的当其拥有所有有限直积、且有限积上的态射总是可由任一因子上的态射确定。笛卡尔闭范畴包括Set和CPO，即完全偏序和斯科特连续函数组成的范畴。
• 拓扑斯是一种特定的笛卡尔闭范畴；所有数学内容都可以用拓扑斯的语言形式化（正如所有经典数学都可以用集合范畴的语言形式化一般）。拓扑斯也可用于表示逻辑理论。

參考文獻

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.（1990）. Abstract and Concrete Categories （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.（now free on-line edition）
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• Barr, Michael, & Wells, Charles (2002). Toposes, Triples and Theories.（revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（278）. Springer-Verlag,1983)
• Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra.. Vols. 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.
• Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge: Cambridge University Press.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician（2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Jean-Pierre Marquis, "Category Theory" （页面存档备份，存于互联网档案馆） in Stanford Encyclopedia of Philosophy （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 2006

外部連結

• Homepage of the Categories mailing list, with extensive list of resources
• Category Theory section of Alexandre Stefanov's list of free online mathematics resources