賦值向量環

數論中,賦值向量環阿代爾環法文:adèle,英譯多用原文)是由一個 的所有完備化構成的拓撲環 ,原域 可以對角方式嵌入其中。

在現代代數數論中,賦值向量環是處理整體問題的基本語言。

法文原文 adèleidèle additif 的縮寫,其中 idèle 意指理想元(élément idéal)。adèle 也是法文中常見的女性名字。

定義

 整體域,例如有理數 、一般的數域函數域   等等。設   為其中的代數整數環。對於所有   上的賦值  (又稱),可定義相應的完備化  。在此,通常將賦值分為有限與無限兩類:

  • 有限賦值:一一對應於  素理想,兩兩不相等價。其中的賦值環記為  
  • 無限賦值  上的阿基米德賦值。對於數域,無限賦值係由域的嵌入   給出,兩個嵌入   給出等價賦值的充要條件是其間至多差一個複共軛: 。無限賦值的個數有限。

有時也以素理想的慣用符號   表示賦值,並以   表示   為無窮賦值。

定義

 

上式的積稱為限制積,這是   的子環,我們要求對其中的每個元素  ,存在包含所有無窮賦值的有限集  ,使得  。賦予   相應的子空間拓撲,是為賦值向量環

  的拓撲由在   點的一組局部基確定,可取下述形式之開集:

 

其中   是函括所有無限賦值的有限集,   的開子集。根據吉洪諾夫定理可知  局部緊拓撲環,這是採限制積定義的原因之一。

性質

  • 對角嵌入   的像落在  ,可證明   構成   的離散子集,而商群   是緊群。
  • 固定   的任一特徵標  ,則任何特徵標   皆可唯一地表示成  ,是故加法群   是其自身的對偶群。這是在賦值向量環上開展調和分析的關鍵之一。

應用

賦值向量環主要用於代數數論中。對於   上的代數群  ,可考慮其上的   。由於代數群總是線性的(換言之,可嵌入  ),  可以具體設想為係數佈於環   上的線性群,並帶有自然的拓撲結構。

最簡單的情形是  ,此時   稱為 idèle 群,這是整體類域論的基石。在郎蘭茲綱領中,須考慮更廣泛的代數群,以描述數域絕對伽羅瓦群

文獻