辫群

辮群（英語：Braid group）為數學領域中紐結理論的一個概念。一個 $\ n$ 股的辮群（記為 $\ B_{n}$ ）是元素為 n-braid 的群，其運算為前一個 n-braid 按後一個 n-braid 的方式操作（見 § 舉例說明）。

而辮群是由埃米爾·阿廷(1925^[1])提出的，因此又被稱為阿廷辮群（英語：Artin Braid group）。^[2]

引言

想像有4條橫著擺放的繩子，它們的兩端分別被固定在左右兩側的牆上，如下圖所示，黑點代表被固定的位置。

一種 4 股的辮子

我們稱這樣繩子的擺放方式，或是編織的方式為一個辮子（英語：braid）。而正式的寫法中會連繩子的數目也一起表達，將4股的辮子以英文簡寫成 4-braid。

如果將剛才的辮子中下面兩條的右端交換位置，會變成下圖的樣子。

另外一種 4 股的辮子

那麼這兩種會是不同的4股辮子( 英語：4-braid)。如果將這兩種辮子理解為群中的元素，那麼剛才把右端交換位置的操作就是群當中的運算。在辮群的討論中，常用這些操作來表示不同的辮子，這種表示方法稱作 braid word。^[2]

在這個小節中，以 $\ n=4$ 為例。

下面的两条辫子是不同的：

不同于

但是下面的两条辫子是相同的：

同于

所有的股都必须从左向右移动，所以下面的图片并不是一条辫子：

不是辫子

我们可以编两条辫子：

加

等于

另一个例子：

加

等于

复合 / 编织物σ和τ的组成写为στ。

$B_{4}$ 是四股上所有编织物的集合。上面的复合是群操作，单位元是四股水平平行股的辫子，辫子B的逆元素是取消B的操作。

辮群的應用包括陳-西蒙斯理論、亚历山大定理（Alexander's Theorem）、楊-巴克斯特方程、代数几何、任意子、等。^[3]

^ 陳國璋(Kuo-Chang Chen). 利用辮群設計支援可比較搜尋之加密法: 46. 2010 [2023-03-25].
^ ^2.0 ^2.1 Weisstein, Eric W. Braid Group. MathWorld--A Wolfram Web. [2023-03-25]. （原始内容存档于2023-03-25）.
^ Cohen, Daniel; Suciu, Alexander. The Braid Monodromy of Plane Algebraic Curves and Hyperplane Arrangements. Commentarii Mathematici Helvetici. 1997, 72 (2): 285–315. arXiv:alg-geom/9608001  . doi:10.1007/s000140050017.
^ Boyland, Philip L.; Aref, Hassan; Stremler, Mark A., Topological fluid mechanics of stirring (PDF), Journal of Fluid Mechanics, 2000, 403 (1): 277–304, Bibcode:2000JFM...403..277B, MR 1742169, doi:10.1017/S0022112099007107, （原始内容 (PDF)存档于2011-07-26）
^ Gouillart, Emmanuelle; Thiffeault, Jean-Luc; Finn, Matthew D., Topological mixing with ghost rods, Physical Review E, 2006, 73 (3): 036311, Bibcode:2006PhRvE..73c6311G, MR 2231368, arXiv:nlin/0510075  , doi:10.1103/PhysRevE.73.036311
^ Stremler, Mark A.; Ross, Shane D.; Grover, Piyush; Kumar, Pankaj, Topological chaos and periodic braiding of almost-cyclic sets (PDF), Physical Review Letters, 2011, 106 (11): 114101, Bibcode:2011PhRvL.106k4101S, doi:10.1103/PhysRevLett.106.114101