邻域系

定义

$X$ 的映射 ${\mathfrak {U}}:X\to P(P(X))$ （ $P(P(X))$ 指 $X$ 的幂集的幂集）。这样 ${\mathfrak {U}}$ 将 $X$ 的每个点 $x$ 映射至 $X$ 的子集族 ${\mathfrak {U}}(x)$ 。 ${\mathfrak {U}}(x)$ 称为 $x$ 的邻域系（或称邻域系统， ${\mathfrak {U}}(x)$ 的元素称为 $x$ 的邻域），当且仅当对任意的 $x\in X$ ， ${\mathfrak {U}}(x)$ 满足如下邻域公理：

U₁：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，则 $x\in U$ 。
U₂：若 $U,V\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，则 $U\cap V\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。（邻域系对邻域的有限交封闭）。
U₃：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ， $U\subseteq V\subseteq X$ ，则 $V\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。
U₄：若 $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，则存在 $V\in {\mathfrak {U}}(x)$ ，使 $V\subseteq U$ 且对所有 $y\in V$ ，有 $V\in {\mathfrak {U}}(y)$ 。

从邻域出发定义其它拓扑空间的基础概念：

从邻域定义开集： $X$ 的子集 $O$ 是开集，当且仅当对任意 $x\in O$ ，有 $O\in {\mathfrak {U}}(x)$ 。（ $O$ 是其中每个点的邻域）。
从邻域定义开核： $X$ 的子集 $A$ 的开核 $A^{\circ }=\{x|\exists U\in {\mathfrak {U}}(x),U\subseteq A\}$ 。
从邻域定义闭包： $X$ 的子集 $A$ 的闭包 ${\overline {A}}=\{x|\forall U\in {\mathfrak {U}}(x),U\cap A\neq \varnothing \}$ 。

参照滤子的定义。给定点x，其邻域系 ${\mathfrak {U}}(x)$ 恰构成了一个滤子，称为邻域滤子。

邻域基

点 $x$ 的邻域基或局部基 ${\mathcal {B}}(x)$ ，就是邻域滤子 ${\mathfrak {U}}(x)$ 的滤子基。它是 ${\mathfrak {U}}(x)$ 的子集，满足：每个x的邻域 $U$ 都存在 $B\in {\mathcal {B}}(x)$ ，使 $B\subseteq U$ 。