0

	<img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6f/Counting_rod_v-1.png" decoding="async" width="23" height="29" class="mw-file-element" data-file-width="23" data-file-height="29"> 元
	<img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/ba/Counting_rod_v-4.png" decoding="async" width="31" height="29" class="mw-file-element" data-file-width="31" data-file-height="29"> <img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e9/Counting_rod_h8.png" decoding="async" width="29" height="43" class="mw-file-element" data-file-width="29" data-file-height="43"> <img src="//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Counting_rod_numeral_0.svg/20px-Counting_rod_numeral_0.svg.png" decoding="async" width="20" height="20" class="mw-file-element" data-file-width="23" data-file-height="23">
	李冶《测圆海镜》第十四问用以上符号代表：<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987f7a7278f5664434d6490ef46a0ae28b561339" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.466ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -480-x}"> 。

0
	数表 — 整数 << 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> << 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 >> << 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 >> << 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 >> << −∞ .... −0 0 .... ∞ >> << -i 0 i 2i 3i >>
命名
小寫	〇
大寫	零
序數詞	第零;
識別
種類	整數
性質
質因數分解	不在可因數分解的整數的範圍內; （任意質數皆為其質因數）
因數	任意整數皆為其因數
絕對值	0
相反数	0或−0
表示方式
值	0
花码	〇
算筹
羅馬數字	羅馬數字一般不使用零
高棉數字	០
摩尔斯电码	-----
二进制	0(2)
八进制	0(8)
十二进制	0(12)
十六进制	0(16)
語言
阿拉伯文、中库尔德语、波斯语、信德语、印度斯坦语（英语：Urdu numerals）	٠
印度數字	०
英語	zero, "oh" (/oʊ/), nought, naught, nil
高棉語	០
泰文	๐
孟加拉语（英语：Bengali numerals）	০
	查; 论; 编;

0（零／〇）是代表“空量”（无）的一个数。0是-1与1之间的整数，属于偶数，其既不是正数也不是负数。

0是大多数记数系统的位值记号，同样作为占位符数字使用。这种用法起源于印度数学，中世纪时经伊斯兰数学家传播到欧洲，并由斐波那契推广。玛雅人也独立使用了相关概念。

在数论中，0不属于自然数；但在集合论和计算机科学中，0属于自然数。0在整数、实数和其他的代数結構中都有著單位元這個很重要的性質。

歷史

关于“0”的概念在其它地区很早就有。巴比伦人、古埃及人、玛雅人分别独立发明了“0”^[1]。公元前3000年，巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。瑪雅文明最早發明特别字体的“0”。瑪雅數字中，“0”以貝殼模樣的象形符號代表。古埃及早在公元前2千年就有人在记账时用特别符号来表示“0”，但该符号并未加入到古埃及数字中。

现在使用的“0”的發明则始於印度。公元前2000年，印度最古老的文獻《吠陀》已有特別「0」概念的應用，當時的0在印度表示無（空）的位置。0这个字体的数字是在5世纪由古印度人发明。他们最早用黑点“.”表示零，后来逐渐变成了“0”。約在6世紀初，印度開始使用命位記數法。7世紀初印度大數學家婆羅摩笈多說明了0加0是0，任何數加上0或減去0得任何數。遺憾的是，他並沒有提到以命位記數法來進行計算的實例。也有的學者認為，0的概念之所以在印度產生並得以發展，是因為印度佛教中存在著「絕對無」這一哲學思想。公元733年，印度一位天文學家在訪問現伊拉克首都巴格達期間，將印度的這種記數法介紹給了阿拉伯人，因這種方法簡便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯數字了。

10世纪波斯数学家伊本·拉班《印度算术原理》第一部分叙述用印度数字0到9为基础的十进位制四则运算和开平方、开立方的土盘程序。

這套記數法後來又傳入西歐地區。由于一些原因，在初引入0这个符号到西方时，曾經引起西方人的困惑，當時西方認為所有數都是可數，而0這個數字會使很多算式、邏輯不能成立^[2]（如除以0），甚至認為是魔鬼數字，而被禁用^[3]；直至約公元15、16世紀，0才逐漸給西方人所認同，使西方數學有快速發展。^[4]

中国古代的筹算数码中没有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”就可以表示为“〦〧　〨 ”。前4世纪，中国数学家已经了解負數和零的概念^[5]。1世纪的《九章算術》说：「正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。」（這段話的大意是「方程相消：遇到同符号系数应相减其数值，遇到异符号系数应相加其数值，正系数遇到没有未知项应取负，负系数遇到没有未知项应取正。」）以上文字裡的「無入」通常被数学历史家^[谁？]认为是零的概念^{[來源請求]}。當時并没有使用符号來表示零。

690年時，武则天颁布了则天文字，其中一个字就是「〇」，当时的意义同“星”，代表圆形的星球^[6]^[7]。瞿曇悉達于718年将印度数字“0”引入中国，以此来代替算筹^[8]^[9]。宋代蔡沈《律率新书》中用方格表示空缺。金朝《大明历》中有“四百〇三”，“三百〇九”等数字^[10]。1247年，秦九韶在其著作數書九章中使用符號「〇」來表示“0”的概念。^[11]1248年，李冶《测圆海镜》中也使用了「〇」。

汉字“零”起初并不具有数字“0”的意思。“零”起初表示“零碎”的意思，比如“零头”等。“一百零五”的意思是：在一百之外，还有一个零头五。随着数字的引进。“105”读作“一百零五”，“零”字与“0”对应，“零”于是具有了“0”的含义。^[12]^[13]

数学性质

0是否属于自然数仍有争议，数论领域认为0不属于自然数，集合论和计算机科学领域认为0属于自然数。
国际标准ISO 31-11:1992（英语：ISO_31-11）中，从集合论角度规定：符号 $\mathbb {N}$ 所表示的自然数包括正整数和0。中国国家标准GB 3102-11:93参照国际标准作出同样规定。

平方數，為0的平方。
立方數，為0的立方。
第1個普洛尼克數，為0與1的乘積。下一個為2。
第0個佩爾數。下一個為1。
第0個斐波那契數。前一個、下一個與下兩個皆是1、前兩個是-1。
0是個高斯整數。
0可被2整除，所以0是偶數。
分數中的分母不可以是0。
0非正非负，0的相反数和绝对值是其本身。
0乘以任何实数都等于0（0×10=0），任何实数加上0等于其本身（1+0=1）。
0没有倒数和负倒数，任何數（包括0）除以0皆無意義。
0不能做对数的底。
0的正数次方等于0，0的负数次方是無意義。
0的0次方目前是未定式，部分領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為1。也有人主張定義為1。^[14]^[15]
0階乘（記作0!）定義為1。
0 為任何非零整數之倍數。
0作為序数一般僅出現於計算機領域。
0是斐波那契数列中，僅有的3個平方數之一（另外兩個是1與144）。^[16]
0是唯一一個使得沒有複數w滿足e^w = z的複數z。

0的因數和倍數

當 $a\times b=c$ （ $a\,\!$ 、 $b\,\!$ 、 $c\,\!$ 為整數）時，定義 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 為 $c\,\!$ 的因數， $c\,\!$ 為 $a\,\!$ 和 $b\,\!$ 的倍數。

\because a\times 0=0

（

a\,\!

為任何實數）

\therefore a

為0的因數，0為

a\,\!

的倍數，也就是說，任何整數都是0的因數。

另外，因为0不能作为任何数的因数，所以0没有倍数。

人类文化

在計算機科學中，0經常用於表示布尔值假（F）。
在数位电路中，不使用精确的电压值来代表信号的值，只使用「0」和「1」两个值。「0」表示低于预先规定的阈值电压，被称为低电平或者逻辑0。与之对应，「1」表示高于预先规定的阈值电压，被称为高电平或者逻辑1。注意负逻辑时的规定相反，高电平为逻辑0。
在電話網路中，國家代碼（國家或地區號）開始為00（兩個0），其下的地方區號（郡或市等地區代碼）開始為0（一個0）。
数字0的使用使數學快速發展。
0号线

參考來源

文献

柯利弗德·皮寇弗; 陳以禮（翻譯）. The Math Book:From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics [數學之書]. 時報文化. 2013-04-16. ISBN 978-957-135-699-0 （中文（繁體））.

引用

^ 柯利弗德 2013，第45頁
^ Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141 [2015-01-14]. ISBN 9781441183910. （原始内容存档于2015-02-19）.
^ Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6 [2015-01-14]. ISBN 9780738711485. （原始内容存档于2015-02-19）.
^ J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor数学史档案. [2015-01-14]. （原始内容存档于2015-02-05）.
^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3
^ 《新唐书·后妃传上·则天武皇后传》：“载初中，又享万象神宫，以太穆、文德二皇后配皇地祇，引周忠孝太后从配。作……、〇、……，十又二文。”按《说文解字》：“曐，万物之精。上为列星。从晶，生声。一曰象形，从〇。”
^ 小寫〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的編碼是U+3007，勿與圈號（CIRCLE）混淆。
^ Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科學出版社, 1964
^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 東京: 東洋書店, 1999, ISBN 4-88595-226-3
^ 郭书春著《中国科学技术史·数学卷》394页科学出版社2010
^ Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.
^ 零说文解字原文 - 说文解字 - 词典网. [2022-05-30]. （原始内容存档于2018-11-03）.
^ 零在康熙字典中的解释 - 康熙字典 - 词典网. [2022-05-30].
^ 存档副本 (PDF). [2011-12-09]. （原始内容存档 (PDF)于2017-03-25）.
^ sci.math FAQ: What is 0^0?. [2011-12-09]. （原始内容存档于2010-12-02）.
^ JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. （原始内容存档于2012-06-30）. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

参见

外部連結

倪梁康：〈零與形而上學〉（页面存档备份，存于互联网档案馆）（2009）

[1] 柯利弗德 2013，第45頁

[2] Alexander Moseley. A to Z of Philosophy. A&C Black. 2008: 141 [2015-01-14]. ISBN 9781441183910. （原始内容存档于2015-02-19）.

[3] Mark Stavish. Freemasonry: Rituals, Symbols & History of the Secret Society. Llewellyn Worldwide. 2007: 6 [2015-01-14]. ISBN 9780738711485. （原始内容存档于2015-02-19）.

[4] J J O'Connor, E F Robertson. A history of Zero. MacTutor数学史档案. [2015-01-14]. （原始内容存档于2015-02-05）.

[5] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[6] 《新唐书·后妃传上·则天武皇后传》：“载初中，又享万象神宫，以太穆、文德二皇后配皇地祇，引周忠孝太后从配。作……、〇、……，十又二文。”按《说文解字》：“曐，万物之精。上为列星。从晶，生声。一曰象形，从〇。”

[7] 小寫〇（IDEOGRAPHIC NUMBER ZERO）的編碼是U+3007，勿與圈號（CIRCLE）混淆。

[8] Qian, Baocong, 中國數學史, 北京: 科學出版社, 1964

[9] Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko（The man who exceeded counting rods）, 東京: 東洋書店, 1999, ISBN 4-88595-226-3

[10] 郭书春著《中国科学技术史·数学卷》394页科学出版社2010

[11] Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd. Page 43.

[说文解字-12] 零说文解字原文 - 说文解字 - 词典网. [2022-05-30]. （原始内容存档于2018-11-03）.

[13] 零在康熙字典中的解释 - 康熙字典 - 词典网. [2022-05-30].

[14] 存档副本 (PDF). [2011-12-09]. （原始内容存档 (PDF)于2017-03-25）.

[15] sci.math FAQ: What is 0^0?. [2011-12-09]. （原始内容存档于2010-12-02）.

[16] JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. （原始内容存档于2012-06-30）. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

高斯整數導航
			↑
			$2 i$
		$-1+ i$	$i$	$1+ i$
←	−2	−1	0	1	2	→
		$-1- i$	$- i$	$1- i$
			$-2 i$
			↓

元

李冶《测圆海镜》第十四问用以上符号代表： $-480-x$ 。