霍普夫不变量

数学特别是代数拓扑学中,霍普夫不变量(英語:Hopf invariant)是球面之间某些映射的一个同伦不变量。

历史

1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行Clifford parallel英语Clifford parallel)构造了霍普夫映射  ,并通过利用圆周   对任意  环绕数(=1),证明了   是本质的,即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群   是由   生成的无限循环群。1951年,让-皮埃尔·塞尔证明了对一个奇数维球面(  奇)有理同伦群   是零除非 i = 0 或 n。但对一个偶数维球面(  偶),在   次处多出一个无限循环同伦。对此有一种有趣的看法:

定义

  是一个连续映射(假设  )。则我们可以构造胞腔复形

 

这里   -维圆盘通过   贴上一个  。 胞腔链群   在度数   只是由  -胞腔自由生成,故它们在度数 0、   ,其余都是零。胞腔(上)同调是该链复形的(上)同调,因为所有边缘同态必然是零(注意到  ),上同调是

 

记这些上同调群的生成元为

  

因为维数原因,这些类之间的所有杯积除了   一定都是平凡的。从而作为一个环,上同调是

 

整数   是映射  霍普夫不变量

性质

定理  是一个同态。进一步,如果   是偶数,则   映到  

对霍普夫映射霍普夫不变量是  (这里  ,分别对应于实可除代数  ,而二重覆叠   将球面上的一个方向送到它生成的子空间)。只有这些映射的霍普夫不变量是 1,这是最先由弗兰克·亚当斯Frank Adams英语Frank Adams)证明的一个定理,后来迈克尔·阿蒂亚利用 K-理论重新给出了证明。

推广到稳定映射

可以定义一种非常一般的霍普夫不变量概念,但需要一些同伦论知识预备:

  表示一个向量空间而   是其单点紧化,即对某个    。如果   是任意带基点的空间(在上一节中不明确),如果我们去无穷远点  的基点,则我们可以构造楔积  

现在令   是一个稳定映射,即在约化垂纬函子下稳定。  的(稳定)几何霍普夫不变量

 

是从    映射的稳定  -等变同伦群中一个元素。这里稳定意为“在垂纬下稳定”,即通常等变同伦群在   上(或  ,如果你愿意)的正向极限;而  -作用是   的平凡作用与交换   中两个因子。如果我们令   表示典范对焦映射而   是恒等,则霍普夫不变量由下式定义:

 

这个映射原本是从    的映射,但在正向极限之下它成为映射的稳定同伦  -等变群的典型元素。

也有一个非稳定版本的霍普夫不变量  ,为此我们必须考虑向量空间  

参考文献

  • Adams, J.F., On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. Math., 1960, 72: 20–104 
  • Adams, J.F.; Atiyah, M.F., K-Theory and the Hopf Invariant, The Quarterly Journal of Mathematics, 1966, 17 (1): 31–38