非線性控制
非線性控制(Nonlinear control)是控制理论中處理非線性系統的理論。控制理论本身是工程和数学的跨領域學科,探討动力系统在有輸入下的行為,以及如何利用反馈、前馈、信號濾波來改變輸入,以調整動力系統的輸出。被控制的系統會稱為受控體。有一個讓受控體輸出可以追隨參考信號的方法,就是將受控體輸出反馈到控制器,和參考信號比較,利用比較後的結果來改變受控體的輸入,使輸出可以追隨參考信號。
控制理论可以分為二種:線性控制理論可適用於元件均滿足叠加原理的系統(線性系統),其統御方程是線性的微分方程,線性系統中若其參數不會隨時間而改變,則稱為线性时不变(LTI)系統,這類系統可以用強大的頻域數學技巧加以分析,例如拉普拉斯变换、傅里叶变换、Z轉換、波德圖、根軌跡圖及奈奎斯特稳定判据。
非線性控制理論則是針對不符合叠加原理的系統(非線性系統),適用於較多的真實世界系統,因為所有真實世界的系統都是非線性的。其統御方程是非線性微分方程,要處理非線性控制的理論比較嚴謹,也比較不具一般性,只能適用在一些特定種類的系統。這些技術包括极限环理論、庞加莱映射、李亞普諾夫函數及描述函數。若只需要研究非線性系統在某穩定點附近行為,可以用近似的方式將非線性系統線性化,方法是將非線性解表示為無窮级数,再利用線性的技巧來處理[1]。非線性系統一般會用電子計算機中的數值方法來分析,例如用仿真語言來仿真其行為。有時雖然受控體是線性的,但使用非線性控制會讓實現更簡單、速度更快、更準確、或是控制需要的能量更少,不過在設計上可能也會比較困難。
非線性控制系統的例子是自動調溫器控制的加熱系統。大樓的溫控系統對溫度的變化有非線性的響應,可能是「開啟」或是「關閉」,不像線性比例控制的設備,可以針對溫度差作較精細的控制。因此,溫度需低於「開啟」的設定溫度後,加熱系統才會打開,之後因為加熱系統的作用,溫度會開始上昇,溫度高於「關閉」的設定溫度後,加熱系統會關閉,溫度漸漸下降。加熱系統就會依此循環運作。這個溫度的循環稱為极限环,就是非線性系統的特點之一。
非線性系統的特點
以下是一些非線性系統的特點
非線性系統的分析及控制
有許多針對非線性系統的分析及控制技巧:
也有一些針對非線性系統的控制器設計技巧,可以分為幾類。一類是在可線性的範圍內,將非線性系統近似為線性系統,再用線性系統的方法處理:
也有一些是用輔助的非線性回授,設法讓系統接近線性,以設計控制器:
以及李亞普諾夫系列的方法:
非線性回授分析–Lure問題
早期有一個由Anatoliy Isakovich Lure提出的非線性回授系統分析問題。
Lur問題描述的控制系統有一個線性非時變的前向路徑,其回授路徑有無記憶,可能時變的非線性成份。
其線性部份可以表示為四個矩陣(A,B,C,D),非線性成份是Φ(y),其中 (扇形非線性)
絕對穩定性問題
考慮:
- (A,B) 有可控制性,(C,A) 有可觀察性
- 存在二個實數a, b,a < b,定義了Φ的扇形區域
Lure問題(也稱為絕對穩定性問題)是要推導只和傳遞矩陣H(s)和{a,b}有關的條件,可以使x = 0是系統的全域均勻漸近穩定平衡點。
有二個有關絕對穩定性問題的著名猜想,都已證實不成立:
以圖形上來看,上述猜想可以表示為在Φ(y) x y或是dΦ/dy x Φ/y圖上的幾何制[2]。這兩個猜想存在反例,在線性穩定扇形區域內存在非線性回授,使得穩定的平衡點和穩定的周期解同時存在(隱蔽振盪)。
有二個有關Lure問題的主要定理,提供絕對穩定的充份條件:
在非線性控制中的理論成果
弗罗贝尼乌斯定理
弗罗贝尼乌斯定理是微分幾何中深刻的成果,其相關的概念和其他數學領域有關。若應用在非線性控制,其型式如下:假設以下型式的系統
其中 , 是屬於 分佈的向量場,而 是控制函數, 的積分曲線會限制在 維流形,若 ,且 是對合分佈。
相關條目
參考資料
- ^ trim point. [2019-04-03]. (原始内容存档于2012-02-08).
- ^ Naderi, T.; Materassi, D.; Innocenti, G.; Genesio, R. Revisiting Kalman and Aizerman Conjectures via a Graphical Interpretation. IEEE Transactions on Automatic Control. 2019, 64 (2): 670–682. ISSN 0018-9286. doi:10.1109/TAC.2018.2849597.
延伸閱讀
- Lur'e, A. I.; Postnikov, V. N. К теории устойчивости регулируемых систем [On the Theory of Stability of Control Systems]. Prikladnaya Matematika I Mekhanika. 1944, 8 (3): 246–248 (俄语).
- Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis 2nd. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1993. ISBN 978-0-13-623463-0.
- Isidori, A. Nonlinear Control Systems 3rd. Berlin: Springer. 1995. ISBN 978-3-540-19916-8.
- Khalil, H. K. Nonlinear Systems 3rd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2002. ISBN 978-0-13-067389-3.
- Brogliato, B.; Lozano, R.; Maschke, B.; Egeland, O. Dissipative Systems Analysis and Control 2nd. London: Springer. 2007.
- Leonov G.A.; Kuznetsov N.V. Algorithms for Searching for Hidden Oscillations in the Aizerman and Kalman Problems (PDF). Doklady Mathematics. 2011, 84 (1): 475–481 [2019-04-03]. doi:10.1134/S1064562411040120. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04).
- Bragin V.O.; Vagaitsev V.I.; Kuznetsov N.V.; Leonov G.A. Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits (PDF). Journal of Computer and Systems Sciences International. 2011, 50 (5): 511–543 [2019-04-03]. doi:10.1134/S106423071104006X. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-04).
- Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Sergio, Bittanti , 编. Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems (PDF). IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). Proceedings of the 18th IFAC World Congress. 2011, 18 (1): 2494–2505 [2019-04-03]. ISBN 9783902661937. doi:10.3182/20110828-6-IT-1002.03315. (原始内容存档 (PDF)于2020-07-09).