馬可夫過程
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在概率論及統計學中,馬可夫過程(英語:Markov process)是一個具備了馬可夫性質的隨機過程,因為俄國數學家安德雷·馬可夫得名。馬可夫過程是不具備記憶特質的(memorylessness)。換言之,馬可夫過程的条件概率僅僅與系统的當前狀態相關,而與它的過去歷史或未來狀態,都是獨立、不相關的[1]。
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具備離散狀態的馬可夫過程,通常被稱為馬可夫鏈。馬可夫鏈通常使用離散的時間集合定義,又稱離散時間馬可夫鏈[2]。有些學者雖然採用這個術語,但允許時間可以取連續的值[3]。
概論
可數或有限的狀態空間 | 連續或一般的狀態空間 | |
---|---|---|
離散時間 | 在可數且有限狀態空間下的馬可夫鏈 | Harris chain (在一般狀態空間下的馬可夫鏈) |
連續時間 | Continuous-time Markov process | 任何具備馬可夫性質的連續隨機過程,例如维纳过程 |
數學模型
对于某些类型的随机过程,很容易通过状态定义列方程推导出是否具有马尔可夫性质,但对于另外一些,需要使用马尔可夫性质中描述的一些更加复杂的数学技巧。举一个简单的例子,设某个随机过程他的状态X可取到一个离散集合中的值,该值随时间t变化,可将该值表示为X(t)。在这里,时间变量是离散或连续不影响讨论的结果。考虑任意一个“过去的时间”集合(...,p2, p1), 任何“当前时间”s, 以及任何“未来时间” t, 同时所有这些时间全都在X的取值范围之内,若有
则马尔可夫性质成立, 并且该过程为马尔可夫过程, 如果式
对于所有的取值( ... ,x(p2), x(p1), x(s), x(t) ), 以及所有的时间集合成立。 则可用条件概率计算得出
与任何过去的取值( ... ,x(p2), x(p1) )不相关,这恰好就是所谓的未来的状态与任何历史的状态无关,仅与当前状态相关。
二阶马尔可夫过程
在某些情况下,如果将“现在”和“未来”的概念扩展,某些明显的非马尔可夫过程仍然可能具有某些马尔可夫过程的性质。举例来说,令X是一个非马尔可夫过程,现在构造一个过程Y,使其每个状态对应于X的一个时段的状态。从而有如下形式:
如果Y具有马尔可夫性质,则称X为二阶马尔可夫过程,据此也可定义更高阶马尔可夫过程。一个高阶马尔可夫过程的例子是移动平均的时间序列
马尔可夫性质
馬可夫性质是概率论中的一个概念。当一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下,其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态;换句话说,在给定现在状态时,它与过去状态(即该过程的历史路径)是条件独立的,那么此随机过程即具有马尔可夫性质。具有马尔可夫性质的过程通常称之为马尔可夫过程。
数学上,如果 为一个随机过程,则马尔可夫性质就是指
马尔可夫过程通常称其为(时间)齐次,如果满足
除此之外则被称为是(时间)非齐次的。齐次马尔可夫过程通常比非齐次的简单,构成了最重要的一类马尔可夫过程。
某些情况下,明显的非马尔可夫过程也可以通过扩展“现在”和“未来”状态的概念来构造一个马尔可夫表示。设 为一个非马尔可夫过程。我们就可以定义一个新的过程 ,使得每一个 的状态表示 的一个时间区间上的状态,用数学方法来表示,即,
如果 具有马尔可夫性质,则它就是 的一个马尔可夫表示。 在这个情况下, 也可以被称为是二阶马尔可夫过程。更高阶马尔可夫过程也可类似地来定义。
参考文献
- ^ Markov process (mathematics) (页面存档备份,存于互联网档案馆) - Britannica Online Encyclopedia
- ^ Everitt,B.S. (2002) The Cambridge Dictionary of Statistics. CUP. ISBN 0-521-81099-x
- ^ Dodge, Y. The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. ISBN 0-19-920613-9