麦克劳林不等式

数学中,麦克劳林不等式Maclaurin's inequality),以科林·麦克劳林冠名,是算术几何平均不等式的加细。

a1a2, ..., an实数,对 k = 1, 2, ..., n 定义平均 Sk

这个分式的分子是度数为 n 变元 a1a2, ..., ank基本对称多项式,即 a1a2, ..., an 中指标递增的任意 k 个数乘积之和。分母是分子的项数,二项式系数

麦克劳林不等式是如下不等式链:

等号成立当且仅当所有 ai 相等。

n = 2,这个给出两个数通常的几何算术平均不等式。n = 4 的情形很好地展示了麦克劳林不等式:

证明

麦克劳林不等式可用牛顿不等式证明。证明的思路是运用归纳法

  • 首先证明
     
    也就是: 
    这个式子等价于 
    也就是: 。因此成立。
  • 其次,假设对某个 ,已经证明了 ,那么也就等于说证明了:
     
    牛顿不等式说明,还有: 
    这个不等式两边作k乘幂,就得到: 
    从而: 
     
     

于是,综上所述,可以证明对所有的 ,都有:

 

麦克劳林不等式得证。

参见

参考


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