黑林格-特普利茨定理

敘述

設 ${\mathcal {H}}$ 為希爾伯特空間， $T:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ 是處處定義的對稱線性算子，即對任意 $x,\,y\in {\mathcal {H}}$ 都有等式

\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle

。

那麼， $T$ 有界（因此也是連續）。

從閉圖像定理可知，只需證明：如果序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 趨於0， $y:=\lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n}$ ，那麼 $y=0$ 。因為內積在 ${\mathcal {H}}$ 上連續，故得

{\begin{aligned}\langle y,y\rangle &=\langle \lim _{n\rightarrow \infty }Tx_{n},y\rangle \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\langle Tx_{n},y\rangle \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }\langle x_{n},Ty\rangle \\&=\langle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n},Ty\rangle \\&=\langle 0,Ty\rangle \\&=0\end{aligned}}

所以 $y=0$ 。

這定理帶出了量子力學的數學基礎的一些技術難題。量子力學中的可觀察量對應到某個希爾伯特空間上的自伴算符，但一些可觀察量（如能量）的算符是無界的。這定理說這些算符不能處處定義，只能定義在稠密子集上。

以量子諧振子為例。這時希爾伯特空間是 $L^{2}(\mathbb {R} )$ ，即 $\mathbb {R}$ 上平方可積函數空間，能量算符 $H$ 定義為（設其單位選取使得 $\hbar =m=\omega =1$ ）

[Hf](x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {{\mbox{d}}^{2}}{{\mbox{d}}x^{2}}}f(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}f(x).

這算符是自伴無界的（其特徵值為1/2, 3/2, 5/2, ...），所以不能在整個 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 上定義。