1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
數學上,發散級數:
是被歐拉首次研究,他應用重求和方法給級數賦予一個有限的值[1]。此級數是被交替加減的階乘之總和。要給發散級數賦值,其中一個方法是用博雷爾和,其型式上寫成:
若我們對總和和積分進行轉乘(忽略兩者其實都是不收斂的),將得到:
在中括號中的總和收斂,並等於1/(1 + x),若x < 1。若我們繼續對所有實數x分析1/(1 + x),可以得到收斂積分的總和:
結果
若k為前十個值,其結果如下:
k | 增量 計算 |
增量 | 結果 |
---|---|---|---|
0 | 1 · 0! = 1 · 1 | 1 | 1 |
1 | −1 · 1 | −1 | 0 |
2 | 1 · 2 · 1 | 2 | 2 |
3 | −1 · 3 · 2 · 1 | −6 | −4 |
4 | 1 · 4 · 3 · 2 · 1 | 24 | 20 |
5 | −1 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 | −120 | −100 |
6 | 1 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 | 720 | 620 |
7 | −1 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 | −5040 | −4420 |
8 | 1 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 | 40320 | 35900 |
9 | −1 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 | −362880 | −326980 |
相關條目
註釋
- ^ (Euler 1760,p.205)
參考資料
- Euler, L., De seriebus divergentibus (PDF), Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 1760, (5): 205–237 [2014-03-13], (原始内容存档于2013-09-26)