贝克隆德变换

(重定向自Bäcklund变换

贝克隆德变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系[1]

两个非线性偏微分方程

之间的贝克隆德变换,指的是这样一对关系

贝克隆德变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。

1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦-戈尔登方程的不同解u、v

之间有如下关系:[2]

这就是正弦-戈尔登方程的贝克隆德自变换。

将贝克隆德自变换第一式对t取微商,二式对x微商:

消除v即得

消除u项即得

贝克隆德变换常用于求正弦-戈尔登方程高维广义Burger I型方程高维广义Burger II型方程的精确解:[3]

解正弦-戈尔登方程

 
Sine-gordon kink2d
 
Sine-gordon 3D animation1
 
Sine-gordon 3D animation2

利用正弦-戈尔登方程的自贝克隆德变换解正弦-戈尔登方程:

由贝克隆德自变换 令v=0,得

 ,显然

 ,两边对x积分,得:

 

对贝克隆德自变换第二式作同样运算得:

  经过三角函数运算,二式简化为

 

 

二式相加得:

 

分离u得正弦-戈尔登方程的一个解析解:

 

又从  直接接求u得另外两个解析解:

 

 

另见

可积系统

KdV方程

参考文献

  1. ^ Inna Shignareve and Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica, p46, Springer
  2. ^ 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》6页科学出版社2007年
  3. ^ 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》106-111页科学出版社2007年