贝克隆德变换是两个非线性偏微分方程之间的一对变换关系[1]。
两个非线性偏微分方程
之间的贝克隆德变换,指的是这样一对关系
贝克隆德变换是求非线性偏微分方程精确解的一种重要的变换。
1876年瑞典数学家贝克隆德发现正弦-戈尔登方程的不同解u、v
![{\displaystyle u_{xt}=\sin u.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d6bba2c742729b79b64e867f7b90236e7b9a6d)
![{\displaystyle v_{xt}=\sin v.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38751c63b1ac548d042d3ef9259e6904dae3c6e0)
之间有如下关系:[2]
![{\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}&=u_{x}-2\beta \sin {\Bigl (}{\frac {u+v}{2}}{\Bigr )}\\v_{t}&=-u_{t}+{\frac {2}{\beta }}\sin {\Bigl (}{\frac {v-u}{2}}{\Bigr )}\end{aligned}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4894592fd094f164786ae80d46ff5de5e56a648c)
这就是正弦-戈尔登方程的贝克隆德自变换。
将贝克隆德自变换第一式对t取微商,二式对x微商:
消除v即得
;
消除u项即得
![{\displaystyle v_{xt}=\sin v.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38751c63b1ac548d042d3ef9259e6904dae3c6e0)
贝克隆德变换常用于求正弦-戈尔登方程、高维广义Burger I型方程、高维广义Burger II型方程的精确解:[3]
解正弦-戈尔登方程
Sine-gordon kink2d
Sine-gordon 3D animation1
Sine-gordon 3D animation2
利用正弦-戈尔登方程的自贝克隆德变换解正弦-戈尔登方程:
由贝克隆德自变换 令v=0,得
,显然
,两边对x积分,得:
对贝克隆德自变换第二式作同样运算得:
经过三角函数运算,二式简化为
二式相加得:
,
分离u得正弦-戈尔登方程的一个解析解:
又从
直接接求u得另外两个解析解:
另见
参考文献
- ^ Inna Shignareve and Carlos Lizarraga-Celaya, Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Methematica, p46, Springer
- ^ 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》6页科学出版社2007年
- ^ 阎振亚著《复杂非线性波的构造性理论及其应用》106-111页科学出版社2007年