ElGamal加密算法

在密码学中，ElGamal加密算法是一个基于迪菲-赫尔曼密钥交换的非对称加密算法。它在1985年由塔希尔·盖莫尔提出。GnuPG和PGP等很多密码学系统中都应用到了ElGamal算法。

ElGamal加密算法可以定义在任何循环群$G$上。它的安全性取决于$G$上的离散对数难题。

算法

ElGamal加密算法由三部分组成：密钥生成、加密和解密。

密钥生成

密钥生成的步骤如下：

• Alice利用生成元$g$产生一个$q\,$阶循环群$G\,$的有效描述。该循环群需要满足一定的安全性质。
• Alice从$\{1,\ldots ,q-1\}$中随机选择一个$x$。
• Alice计算$h:=g^{x}$。
• Alice公开$h\,$以及$G,q,g\,$的描述作为其公钥，并保留$x$作为其私钥。私钥必须保密。

加密

使用Alice的公钥$(G,q,g,h)$向她加密一条消息$m$的加密算法工作方式如下：

• Bob从$\{1,\ldots ,q-1\}$随机选择一个$y$，然后计算$c_{1}:=g^{y}$。
• Bob计算共享秘密$s:=h^{y}$。
• Bob把他要发送的秘密消息$m$映射为$G$上的一个元素$m'$。
• Bob计算$c_{2}:=m'\cdot s$。
• Bob将密文$(c_{1},c_{2})=(g^{y},m'\cdot h^{y})=(g^{y},m'\cdot (g^{x})^{y})$发送给Alice。

值得注意的是，如果一个人知道了$m'$，那么它很容易就能知道$h^{y}$的值。因此对每一条信息都产生一个新的$y$可以提高安全性。所以$y$也被称作临时密钥。

解密

利用私钥$x$对密文$(c_{1},c_{2})$进行解密的算法工作方式如下：

• Alice计算共享秘密$s:=c_{1}{}^{x}$
• 然后计算$m':=c_{2}\cdot s^{-1}$，并将其映射回明文$m$，其中$s^{-1}$是$s$在群$G$上的逆元。（例如：如果$G$是整数模n乘法群的一个子群，那么逆元就是模逆元）。

解密算法是能够正确解密出明文的，因为

$c_{2}\cdot s^{-1}=m'\cdot h^{y}\cdot (g^{xy})^{-1}=m'\cdot g^{xy}\cdot g^{-xy}=m'.$

实际使用

ElGamal加密系统通常应用在混合加密系统中。例如：用对称加密体制来加密消息，然后利用ElGamal加密算法传递密钥。这是因为在同等安全等级下，ElGamal加密算法作为一种非对称密码学系统，通常比对称加密体制要慢。对称加密算法的密钥和要传递的消息相比通常要短得多，所以相比之下使用ElGamal加密密钥然后用对称加密来加密任意长度的消息，这样要更快一些。