吉文斯旋转

在数值线性代数中，吉文斯旋转（英語：Givens rotation）是在两个坐标轴所展开的平面中的旋转。吉文斯旋转得名于华莱士·吉文斯，他在1950年代工作于阿贡国家实验室时把它介入到数值分析中。

矩阵表示

吉文斯旋转表示为如下形式的矩阵

G(i,j,\theta )={\begin{bmatrix}1&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots &&\vdots \\0&\cdots &c&\cdots &-s&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &s&\cdots &c&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &1\end{bmatrix}}

这里的 c = cos(θ) 和 s = sin(θ) 出现在第 i 行和第 j 行与第 i 列和第 j 列的交叉点上。就是说，吉文斯旋转矩阵的所有非零元定义如下：:

{\begin{aligned}g_{k\,k}&{}=1\qquad {\text{for}}\ k\neq i,\,j\\g_{i\,i}&{}=c\\g_{j\,j}&{}=c\\g_{i\,j}&{}=s\qquad {\text{for}}\ i>j\\g_{j\,i}&{}=-s\quad {\text{for}}\ i<j\\\end{aligned}}

乘积 $G (i, j, θ) x$ 表示向量 x 在 (i,j)平面中的逆时针旋转 θ 弧度。

Givens 旋转在数值线性代数中主要的用途是在向量或矩阵中介入零。例如，这种效果可用于计算矩阵的 QR分解。超过Householder变换的一个好处是它们可以轻易的并行化，另一个好处是对于非常稀疏的矩阵计算量更小。

稳定计算

当一个吉文斯旋转矩阵 G(i,j,θ)从左侧乘另一个矩阵 A 的时候，GA 只作用于 A 的第 i 和 j 行。所以我们集中于下列问题。给出 a 和 b，找到 c = cos θ 和 s = sin θ 使得

{\begin{bmatrix}c&-s\\s&c\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\\0\end{bmatrix}}.

明确计算出 θ 是没有必要的。我们转而直接获取 c, s 和 r。一个明显的解是

{\begin{aligned}r&{}\leftarrow {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\c&{}\leftarrow a/r\\s&{}\leftarrow -b/r\end{aligned}}

但是为了避免上溢出和下溢出，我们使用不同的计算，采用比率 b/a (它是 tan θ)或它的倒数(Golub & Van Loan 1996)。如 Edward Anderson (2000) 在改进 LAPACK 时发现的，前瞻数值考虑是连续性的。要完成它，我们要求 r 是正数。

if (b = 0) then {c ← copysign(1,a); s ← 0; r ← abs(a)}
else if (a = 0) then {c ← 0; s ← -copysign(1,b); r ← abs(b)}
else if (abs(b) > abs(a)) then
  t ← a/b
  u ← copysign(sqrt(1+t*t),b)
  s ← -1/u
  c ← -s*t
  r ← b*u
else
  t ← b/a
  u ← copysign(sqrt(1+t*t),a)
  c ← 1/u
  s ← -c*t
  r ← a*u

这是依据 IEEE 754r copysign(x,y) 函数写成的，它提供了安全和廉价的方式复制 y 的符号到 x。如果不能获得它，使用符号函数的 x*sgn(y) 可作为替代。

注意这里的sgn定义为

\operatorname {sgn} x={\begin{cases}1&:\ x\geq 0\\-1&:\ x<0\end{cases}}

而不是常用的

\operatorname {sgn} x={\begin{cases}1&:\ x>0\\0&:\ x=0\\-1&:\ x<0\end{cases}}

后者常在高级语言中作为标准库函数被提供，注意不要直接应用于本算法中。

参见

雅可比旋转

引用

Golub, Gene H.; Charles F. Van Loan. Matrix Computations 3/e. Baltimore: Johns Hopkins University Press. 1996. ISBN 978-0-8018-5414-9.
Anderson, Edward. (2000) Discontinuous Plane Rotations and the Symmetric Eigenvalue Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆）. LAPACK Working Note 150, University of Tennessee, UT-CS-00-454, December 4, 2000.
D. Bindel, J. Demmel, W. Kahan, O. Marques. (2001) On Computing Givens rotations reliably and efficiently （页面存档备份，存于互联网档案馆）. LAPACK Working Note 148, University of Tennessee, UT-CS-00-449, January 31, 2001.