极值点

数学中，极值点（arguments of the maxima/minima，分别缩写为arg max/arg min或argmax/argmin）是使函数输出值取得极值的输入点。^{[note 1]}函数的自变量在定义域上，因变量则在到达域上。

定义

给定任意集合X、全序集Y与函数 $f\colon X\to Y$ ，则某子集 $S\subseteq X$ 上的 $\operatorname {argmax}$ 定义为

\operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in S\}.

若 $S=X$ 或S在语境中明确，则通常省略S，如 ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in X\}.$ 也就是说， $\operatorname {argmax}$ 是点x的集合，使 $f(x)$ 到达函数最大值（若存在）。 $\operatorname {Argmax}$ 可以是空集、单元集，或包含多个元素。

在凸分析与变分分析中， $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ （是广义实数）的情形时的定义略有不同。^[2]这时，若f等同于S上的 $\infty$ ，则 $\operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing$ （即 $\operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing$ ），否则 $\operatorname {argmax} _{S}f$ 定义如上，这时 $\operatorname {argmax} _{S}f$ 也可以写成

\operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}

这里要强调的是，这个涉及 $\sup {}_{S}f$ 的等式只有当f在S上不等同于 $\infty$ 时才成立。^[2]

Arg min

$\operatorname {argmin}$ （或 $\operatorname {arg\,min}$ ）表示极小值点，定义与之类似。例如

{\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}

是使函数值 $f(x)$ 取得极小值的点x。它是 $\operatorname {arg\,max}$ 的补算子。

在 $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ （是广义实数）的情形时，若f在S上等同于 $-\infty$ ，则 $\operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing$ （即 $\operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing$ ），否则 $\operatorname {argmin} _{S}f$ 定义如上，这时它也满足

\operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.

^[2]

例子与性质

例如，若 $f(x)=1-|x|$ ，则f只有在 $x=0$ 这一点上取最大值1。因此

{\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.

$\operatorname {argmax}$ 算子与 $\max$ 不同，给定相同的函数时，后者返回函数极大值，而不是使函数取得极大值的点。也就是说

\max _{x}f(x)

is the element in

\{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.

max可以是空集（这时极大值未定义），这与 $\operatorname {argmax}$ 相同；不同的是 $\operatorname {max}$ 可能不含多个元素。^{[note 2]}例如，取 $f(x)=4x^{2}-x^{4},$ 则 ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},$ 但 ${\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}$ 因为函数在 $\operatorname {argmax}$ 的每个元素上都取相同的值。

等价地，若M是f的极大值，则 $\operatorname {argmax}$ 是极大值的水平集：

{\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).

可以将其重排，得到简单的等式^{[note 3]}

f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).

若极大值点只有一个，那么 $\operatorname {argmax}$ 应被视为一个点，而非点集。例如

{\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5

（而非单元集 $\{5\}$ ），因为 $x(10-x)$ 的极大值25仅在 $x=5$ 时取到。^{[note 4]}而若在多个点上都取得极大值， $\operatorname {argmax}$ 就应被视为点集。例如

{\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}

因为maximum value of $\cos x$ 的极大值1在 $x=0,2\pi ,\ 4\pi$ 时取到。在整条实数线上

{\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},

因此是无限集。

函数不必达到极大值，因此 $\operatorname {argmax}$ 有时是空集。例如 ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing$ ，因为 $x^{3}$ 在实数线上无界。再举个例子， ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing$ ，虽然 $\arctan$ 有界（ $\pm \pi /2$ ），但由极值定理，闭区间上的连续实值函数必有极大值，因此有非空的 $\operatorname {argmax}$ 。