同餘關係

在數學特別是抽象代數中，同餘關係或簡稱同餘是相容於某個代數運算的等價關係。

模算術

元型例子是模算術：對於一個正整數n，如果a − b整除於n（還有一個等價的條件是它們除以n得出同樣的餘數），則兩個整數a和b被稱為同餘模n。

例如，5和11同餘模3：

11 ≡ 5 (mod 3)

因為11 − 5得出6，它整除於3。或者等價的說，這兩個數除以3得到相同的餘數：

11 = 3×3 + 2

5 = 1×3 + 2

如果 $a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}$ 並且 $a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}}$ ，則 $a_{1}+a_{2}\equiv b_{1}+b_{2}{\pmod {n}}$ 並且 $a_{1}a_{2}\equiv b_{1}b_{2}{\pmod {n}}$ 。這把同餘(mod n)變成了在所有整數的環上的一個等價。

線性代數

兩個實數矩陣A和B被稱為合同的，如果存在可逆實數矩陣P使得

P^{\top }AP=B

。

對稱矩陣有實數特徵值。對稱矩陣的「慣性」是由正特徵值的數目、零特徵值的數目和負特徵值的數目組成的三元組。Sylvester慣性定律聲稱兩個對稱實數矩陣是合同的，當且僅當它們有相同的慣性。所以，全等變換可以改變矩陣的特徵值但不能改變特徵值的符號。

對於複數矩陣，必須區分「^T合同」（A和B是^T合同，如果有可逆矩陣P使得P^TAP = B）和「*合同」（A和B是*合同，如果有可逆矩陣P使得P*AP = B）。

泛代數

想法是推廣到泛代數中：代數A上的同餘關係是直積A×A的子集，它既是在A上的等價關係又是A×A的子代數。

同態的核總是同餘。實際上，所有同餘引起自核。對於給定在A上的同餘~，等價類的集合A/~可以自然的方式給出自代數的結構商代數。映射所有A的元素到它的等價類的函數是同態，這個同態的核是~。

在一個代數上的所有同餘關係的格是代數格。

群的同餘、正規子群和理想

在群的特殊情況下，同餘關係可以用基本術語描述為：如果G是群（帶有單位元e）並且~是在G上的二元關係，則~是同餘只要：

給定G的任何元素a，a ~ a（自反關係）。
給定G任何的元素a和b，如果a ~ b，則b ~ a（對稱關係）。
給定G的任何元素a,b和c，如果a ~ b 並且b ~ c，則a ~ c（傳遞關係）。
給定G的任何元素a,a',b和b' ，如果a ~ a' 並且b ~ b' ，則a * b ~ a' * b' 。
給定G的任何元素a和a' ，如果a ~ a' ，則a⁻¹ ~ a' ⁻¹（這個條件可以從其他四個條件證明，所以嚴格上是冗餘的）。

條件1, 2和3聲稱~是等價關係。

同餘~完全確定自G的同餘於單位元的那些元素的集合{a ∈ G : a ~ e}，而這個集合是正規子群。特別是，a ~ b當且僅當b⁻¹ * a ~ e。所以替代談論在群上同餘，人們通常以正規子群的方式談論它們；事實上，所有同餘都唯一的對應於G的某個正規子群。

環理想和一般情況的核

類似的技巧允許談論環中的核為理想來替代同餘關係，在模理論中為子模來替代同餘關係。

這個技巧不適用於幺半群，所以同餘關係的研究在幺半群理論扮演更中心的角色。

參見

引用

Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.（Section 4.5 discusses congruency of matrices.）