圖 (拓撲)

拓撲學中，圖指拓撲空間，由通常的圖$G=(E,V)$將頂點替換為點、將邊$e=xy\in E$替換為單位區間$I=[0,1]$（當中0為與x相關的點，1為與y相關的點）。即，作為拓撲空間，圖恰恰是1維單純復形，也是1維CW復形。

於是，在用於膠合的商映射下，它具有集合的商拓撲

$X_{0}\sqcup \bigsqcup _{e\in E}I_{e}$

當中$X_{0}$是0骨架（對每個頂點$x\in V$含一個點），$I_{e}$是與之膠合的閉區間，每個邊$e\in E$有一個，$\sqcup$是不交並。

這空間上的拓撲即稱作圖拓撲。

子圖與樹

圖X的子圖是子空間$Y\subseteq X$，也是圖，且節點都包含在X的0骨架中。Y是子圖，當且僅當其包含來自X的頂點和邊，且封閉。

若子圖$T\subseteq X$作為拓撲空間可收縮，則稱作樹。這等同於圖論中樹的通常定義，即無環連通圖。

性質

• 當且僅當原圖是連通圖，圖的關聯拓撲空間才連通（關於圖拓撲）。
• 每個連通圖X至少包含一棵極大樹$T\subseteq X$，即就集合包含在X的子樹上誘導的階來說，此樹是最大的。
• 若X是圖，$T\subseteq X$是極大樹，則基本群$\pi _{1}(X)$等於由元素$(f_{\alpha })_{\alpha \in A}$生成的自由群，當中$\{f_{\alpha }\}$雙射對應於$X\setminus T$的邊；事實上，X與圓的楔和同倫等價。
• 按上述方式形成與圖關聯的拓撲空間，相當於圖範疇到拓撲空間範疇的函子。

• 每個投影到圖的覆疊空間也是圖。

另見

• 圖同調
• 拓撲圖論
• 尼爾森–施賴埃爾定理，其標準證明使用了這一概念。