雅可比-安格展開式

在數學中，雅可比-安格展開式（英語：Jacobi-Anger Expansion），或稱雅可比-安格恆等式（英語：Jacobi-Anger Identity），是一種將特定形式的復指數函數展開成無窮個諧波分量之和的方法，在物理學（例如在平面波和柱面波之間轉換）等領域中有所應用。此展開式以19世紀數學家卡爾·雅可比和Carl Theodor Anger的名字命名。

從信號學的角度看，雅可比-安格展開式能夠將具有特定頻率調製形式的復指數信號展開成無窮個頻率為整數倍基頻的諧波分量之和，因而可用於對頻率調製進行譜線分析。

定義形式

雅可比-安格展開式的定義形式如下：

$\mathrm {e} ^{iz\cos \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}\,J_{n}(z)\,\mathrm {e} ^{in\theta }$

其中$i$是虛數單位，有${\textstyle i^{2}=-1}$；$z\in \mathbb {C} ,\,\theta \in \mathbb {R}$；$J_{n}(z)$是$n$階第一類貝塞爾函數，比如下面是其麥克勞林級數展開形式：

$J_{n}(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }\left({\frac {(-1)^{k}}{k!(n+k)!}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{n+2k}\right)$

上述形式的貝塞爾函數要求$n$為非負整數，這裡通過加入負整數擴充定義$J_{-n}(z)=(-1)^{n}\,J_{n}(z)$，讓$J_{n}(z)$對所有整數階次$n$有效。

其他形式

正弦形式

通過將定義形式中的$\theta$用$\theta -{\frac {\pi }{2}}$替代，可得到雅可比-安格展開式的正弦形式：

$\mathrm {e} ^{iz\sin \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,\mathrm {e} ^{in\theta }$

實值形式

有時也會使用下面這些實值形式，它們是由原始公式和正弦形式經過歐拉公式變形得到的：

${\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&\equiv -2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&\equiv 2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{aligned}}$