e (數學常數)

「歐拉常數」重新導向至此。關於其他意義，請見「歐拉常數 (消歧義)」。

提示：此條目頁的主題不是科學記數法。

$e$，亦稱自然常數、自然底數，或是歐拉數（Euler's number），是無理數的數學常數，以瑞士數學家歐拉命名；還有個較少見的名字納皮爾常數，用來紀念蘇格蘭數學家約翰·納皮爾引進對數。它是一個無限不循環小數，數值約是（小數點後20位， A001113）：

歐拉數

歐拉數-1 歐拉數 歐拉數+1
數表—無理數 $\color {blue}{\sqrt {2}}$ - $\color {blue}\varphi$ - $\color {blue}{\sqrt {3}}$ - $\color {blue}{\sqrt {5}}$ - $\color {blue}\delta _{S}$ - $\color {blue}e$ - $\color {blue}\pi$
命名
名稱	納皮爾常數
識別
種類	無理數 超越數
發現	雅各布·伯努利
符號	$e$
位數數列編號	A001113
性質
定義	$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ $e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}$
連分數（線性表示）	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...]
以此為根的多項式或函數	$\int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1$
表示方式
值	$e\approx$2.7182818285
無窮級數	$e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$
二進制	10.101101111110000101010001…
八進制	2.557605213050535512465277…
十進制	2.718281828459045235360287…
十二進制	2.8752360698219BA71971009B…
十六進制	2.B7E151628AED2A6ABF715880…
六十進制	2;43,5,48,52,29,48,35,6,46,19,55…

$e$是使在$x=0$點上 $f(x)=a^{x}$（藍色曲線）的導數（切線的斜率）值為1之$a$的唯一值。對比一下，函數$2^{x}$（虛點曲線）和$4^{x}$（虛線曲線）和斜率為1、y-截距為1的直線（紅色）並不相切。

$e=2.71828182845904523536\cdots$，近似值為${\frac {271801}{99990}}$。

有許多的函數都和$e$有關：自然對數函數的底數即為$e$，數學中的指數函數也常是指以$e$為底數的指數函數。

歷史

約翰·納皮爾於1618年出版的對數著作附錄中的一張表中第一次提到常數$e$，但它沒有記錄這常數，只有由它為底計算出的一張自然對數列表，通常認為這是由威廉·奧特雷德製作的。第一次把$e$看為常數的是雅各布·伯努利，他嘗試計算下式的值：

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

上式代表把1與無窮小相加，再自乘無窮多次。

已知的第一次用到常數$e$，是萊布尼茨於1690年和1691年給惠更斯的通信，以$b$表示。1727年歐拉開始用$e$來表示這常數；而$e$第一次在出版物用到，是1736年歐拉的《力學》（Mechanica）。雖然往後年日有研究者用字母$c$表示，但$e$較常用，終於成為標準。

用$e$表示的原因確實不明，但可能因為$e$是指數函數（exponential）一字的首字母。另一看法則稱$a,b,c,d$有其他經常用途，而$e$是第一個可用字母。

定義

就像圓周率$\pi$和虛數單位i，$e$是數學中最重要的常數之一。它有幾種等價定義，下面列出一部分。

1. 定義$e$爲下列極限值：

   $e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

   $e=\lim _{t\to 0}(1+t)^{\frac {1}{t}}$

2. 定義$e$爲階乘倒數之無窮級數的和：

   $e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

   其中$n!$代表$n$的階乘。

3. 定義$e$爲唯一的正數$x$使得

   $\int _{1}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=1$

4. 定義$e$爲唯一的實數$x$使得

   $\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}=1$

這些定義可證明是等價的，請參見文章指數函數的特徵描述。

性質

${\sqrt[{x}]{x}}$ 的極大值在$x=e$.

很多增長或衰減過程都可以用指數函數模擬。指數函數$e^{x}$的重要性在於，唯獨該函數（或其常數倍，即$x\mapsto ke^{x}$，其中$k$為任意常數）與自身導數相等。即：

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$。

$e^{x}$的泰勒級數為$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x$

$=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...$

$x$為複數時依然成立，因此根據$\sin x$及$\cos x$的泰勒級數，得出在數學中一條稱為歐拉公式的重要等式：

$e^{\mathrm {i} x}=\cos x+{\rm {i}}\sin x$

當$x=\pi$的特例是歐拉恆等式：

$e^{\mathrm {i} \pi }+1=0$

此式被理查德·費曼稱為「歐拉的寶石」。

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)$

即棣莫弗公式。

• $e$是無理數和超越數（見林德曼－魏爾斯特拉斯定理）。這是第一個獲證為超越數的數，而非故意構造的（比較劉維爾數）；由夏爾·埃爾米特（Charles Hermite）於1873年證明。有猜想它為正規數。
• 當$x=e$時函數$f(x)={\sqrt[{x}]{x}}$有最大值。
• $e$的無窮連分數展開式有個有趣的模式，可以表示如下（ A003417）

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\ldots ]$

就像以下的展開式：

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}$

無理數證明

反證法

證明$e$是無理數可以用反證法。假設$e$是有理數，則可以表示成${\frac {a}{b}}$ ，其中$a,b$為正整數。以$e$的無窮級數展開式可以得出矛盾。

考慮數字

$x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)$，

以下將推導出$x$是小於1的正整數；由於不存在這樣的正整數，得出矛盾，所以得證$e$是無理數。

• $x$是整數，因為

  $0<x=b!\left(e-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)=b!\left({a \over b}-\sum _{i=0}^{b}{1 \over i!}\right)$

  $=a(b-1)!-\sum _{i=0}^{b}{b! \over i!}$

  $=a(b-1)!-\left[1+\sum _{n=0}^{b-1}b(b-1)\cdots (n+1)\right]$。

• $x$是小於1的正數，因為

  $0<x=b!\sum _{n=b+1}^{\infty }{1 \over n!}$

  $={\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\frac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\cdots$

  $<{\frac {1}{b+1}}+{\frac {1}{(b+1)^{2}}}+{\frac {1}{(b+1)^{3}}}+\cdots ={1 \over b}\leq 1$。

但是0與1之間（不含0與1）不存在有整數，故原先假設矛盾，得出$e$為無理數。

二項式定理

視$n$為存在的數值，所以用二項式定理可證出：

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}C_{i}^{n}1^{n-i}\left({\frac {1}{n}}\right)^{i}$

$=\lim _{n\to \infty }\left[C_{0}^{n}1^{n}\left({\frac {1}{n}}\right)^{0}+C_{1}^{n}1^{n-1}\left({\frac {1}{n}}\right)^{1}+C_{2}^{n}1^{n-2}\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+C_{3}^{n}1^{n-3}\left({\frac {1}{n}}\right)^{3}+...+C_{n}^{n}1^{0}\left({\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]$

$=\lim _{n\to \infty }\left[1\times 1+n\times {\frac {1}{n}}+{\frac {n!}{\left(n-2\right)!2!}}\times {\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n!}{\left(n-3\right)!3!}}\times {\frac {1}{n^{3}}}+...+1\times {\frac {1}{n^{n}}}\right]$

$=\lim _{n\to \infty }\left[1+1+{\frac {n\times \left(n-1\right)}{2n^{2}}}+{\frac {n\times \left(n-1\right)\left(n-2\right)}{3\times 2n^{3}}}+...+{\frac {1}{n^{n}}}\right]$

$=2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+...$

$=2.71828...$

已知位數

$e$的已知位數

日期	位數	計算者
1748年	18	李昂哈德·歐拉
1853年	137	William Shanks
1871年	205	William Shanks
1884年	346	J. M. Boorman
1946年	808	？
1949年	2,010	約翰·馮·諾伊曼
1961年	100,265	Daniel Shanks & 約翰·威廉·倫奇
1978年	116,000	史蒂芬·蓋瑞·沃茲尼克
1994年	10,000,000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
1997年5月	18,199,978	Patrick Demichel
1997年8月	20,000,000	Birger Seifert
1997年9月	50,000,817	Patrick Demichel
1999年2月	200,000,579	Sebastian Wedeniwski
1999年10月	869,894,101	Sebastian Wedeniwski
1999年11月21日	1,250,000,000	Xavier Gourdon
2000年7月10日	2,147,483,648	近藤茂、Xavier Gourdon
2000年7月16日	3,221,225,472	Colin Martin、Xavier Gourdon
2000年8月2日	6,442,450,944	近藤茂、Xavier Gourdon
2000年8月16日	12,884,901,000	近藤茂、Xavier Gourdon
2003年8月21日	25,100,000,000	近藤茂、Xavier Gourdon
2003年9月18日	50,100,000,000	近藤茂、Xavier Gourdon
2007年4月27日	100,000,000,000	近藤茂、Steve Pagliarulo
2009年5月6日	200,000,000,000	近藤茂、Steve Pagliarulo
2010年2月21日	500,000,000,000	余智恆（Alexander J. Yee）
2010年7月5日	1,000,000,000,000	近藤茂、余智恆（Alexander J. Yee）
2014年11月15日	1,048,576,000,000	David Galilei Natale

諧取

• 在Google2004年的首次公開募股，集資額不是通常的整頭數，而是$2,718,281,828，這當然是取最接近整數的$e$十億美元。Google2005年的一次公開募股中，集資額是$14,159,265，與圓周率有關。
• Google也是首先在矽谷心臟地帶，接著在麻薩諸塞州劍橋出現的神祕廣告版 的幕後黑手，它寫著{first 10-digit prime found in consecutive digits of e}.com（在$e$的連續數字中第一個發現的十位質數.com）。解決了這問題（第一個$e$中的十位質數是7427466391，出奇地到很後才出現，由第100個數字開始），進入網站後還有個更難的題目要解決，最後會到達Google的招聘頁。但這個挑戰已結束，上述網站都已關閉。
• 著名電腦科學家高德納的軟件Metafont的軟體版本號趨向$e$（就是說版本號碼是2，2.7，2.71，2.718等），與之相對的有TeX的軟體版本號號是趨向於圓周率的。

參見

• e的π次方
• 無理數
• 超越數
• 歐拉數
• 圓周率
• 指數函數
• 自然對數