芬斯拉不等式

芬斯拉不等式(Finsler's Inequality)是一條反映了三角形三邊與其面積之間的關係的幾何不等式。

設△ABC的三邊長分別為, , ,面積為,則

(若且唯若時,等號成立)……(1)

證明一:如圖,因任意△ABC的三條高至少有一條在△ABC內,不妨設BC邊上的高AD在△ABC內,設,則有

……(2)

等號若且唯若,且時,即△ABC為正三角形時成立。展開(2)式並整理可得

。(當時,等號成立)

註:證明的關鍵是巧妙在構造不等式(2),為此必須首先猜想到當時,正三角形的面積最大,此時有,利用這兩個公式就可造出不等式(2)。


證明二:由余弦定理及三角形面積公式,

若且唯若,∠C=60°,即時,等號成立。

芬斯拉不等式的推廣

1、若a、b、c、d為四邊形的四條邊,S為其面積,則有

 

等號若且唯若四邊形為正方形時成立。

2、若  、……、 為n邊形的邊長,S為其面積,則有

 …… 

等號若且唯若這個n邊形為正n邊形時成立。